Jak udowodnić równość?

[omek00001]

Witam.
Jak udowodnić że suma tych k-elementowych kombinacji jest równa \(\displaystyle{ 2^{n}}\).?
Albo podać mniej więcej dlaczego \(\displaystyle{ 2^{n}}\).?


\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{k}}\)\(\displaystyle{ \ n\choose k}\)=\(\displaystyle{ 2^{n}}\)

[Tomasz Rużycki]

Przyjmij we wzorze dwumiennym Newtona \(\displaystyle{ a=b=1}\).

[omek00001]

a dlaczego a=b=1 a nie np. a=b=4.Wiem że jeżeli podstawimy pod dwumian Newtona za a=1 i za b=1 to będzie on równy \(\displaystyle{ 2^{n}}\) ale dlaczego podstawiłeś 1 a nie np.2? Wyjaśnij mi jak się to ma do k-elementowych kombinacji bo przecież k tam jest różne?
z góry dzięki

[max]

Jeśli do wzoru:
\(\displaystyle{ (a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{n\choose k}a^{k}b^{n -k}}\)
podstawisz \(\displaystyle{ a 1}\) lub \(\displaystyle{ b 1}\)
to przecież nie otrzymasz po prawej stronie sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}{n\choose k}}\)

[omek00001]

dzieki podstawieniu 1 możemy rozpatrywać kombinacje jednego elementu.

Dzięki