Obraz i przeciwobraz

[adept_c]

Witam,

potrzebuję sprawdzenia moich zadań:

1. Ile jest funkcji \(\displaystyle{ f: \left\{ 1,...,n\right\} \rightarrow \left\{ 1,2,3\right\}}\) takich, że \(\displaystyle{ f^{-1}(\left\{ 1\right\} ) = k}\)?
2. Ile jest takich funkcji \(\displaystyle{ f: \left\{ 1,...,n\right\} \rightarrow \left\{ 1,...,n\right\}}\) takich, że \(\displaystyle{ \left| rng(f)\right| = 3}\)?


2. rng w tym oznaczeniu to obraz funkcji, więc jeśli ilość elementów ma równać się 3 to mogą występować tylko 3 wartośći

rozwiązanie wydaje się bardzo proste i wg mnie to po prostu \(\displaystyle{ 3^{n}}\)


1. Tutaj nie mamy wzoru funkcji ani ustalonego k. Więc można przyjąć, że \(\displaystyle{ \left| f^{-1} (\left\{ 2,3\right\}\right|= n-1}\)
więc odpowiedź to będzie? nie wiem jak to skończyć (wydaję się, że \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\))

[Andreas]

A czym jest k?
Czy w punkcie pierwszym nie powinna być moc przeciwobrazu?-- 18 czerwca 2013, 20:26 --Jeśli pierwszy punkt brzmiałby: "Ile jest funkcji \(\displaystyle{ f: \left\{ 1,...,n\right\} \rightarrow \left\{ 1,2,3\right\}}\) takich, że \(\displaystyle{ \left|f^{-1}(\left\{ 1\right\} ) \right|= k}\)?",
to takich funkcji jest \(\displaystyle{ {n \choose k} \cdot 2^{n-k}}\)

2. Takich funkcji jest \(\displaystyle{ {n \choose 3} \cdot 3^{n}}\).

[adept_c]

W pierwszym nie ma wartości bezwzględnej. Jest tak jak napisałem. Więc jak to będzie?

Co do 2 masz rację. Najpierw musimy wybrać 3 z n Ale co z funkcjami, które przyjmują same 2 np. ?

[Andreas]

W pierwszym nie ma wartości bezwzględnej. Jest tak jak napisałem. Więc jak to będzie?

No to nie wiem jak je zrobić. Ja to rozumiałem jako "ile jest takich funkcji że przeciwobraz zbioru jednoelementowego złożonego z jedynki ma k elementów, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną". Na moje oko to jest błąd, bo inaczej k musiałoby być zbiorem.

Co do 2 masz rację. Najpierw musimy wybrać 3 z n Ale co z funkcjami, które przyjmują same 2 np. ?

Jak przyjmują tylko wartość 2, to przeciwdziedzina nie ma wtedy trzech elementów, tylko jeden.

[Jan Kraszewski]

1. Ile jest funkcji \(\displaystyle{ f: \left\{ 1,...,n\right\} \rightarrow \left\{ 1,2,3\right\}}\) takich, że \(\displaystyle{ f^{-1}(\left\{ 1\right\} ) = k}\)?

To zadanie nie ma sensu, bo \(\displaystyle{ f^{-1}(\left\{ 1\right\} )}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ \left\{ 1,...,n\right\}}\). Prawdopodobnie miało być tak, jak napisał Andreas (i u niego nie była wartość bezwzględna, tylko moc zbioru).

JK