\(\displaystyle{ |s(n,k)|=(-1)^{n+k} s(n,k)}\)
Mam to udowodnić, proszę o wskazówki.
Gdzie \(\displaystyle{ s(n,k)}\) to współczynniki przy \(\displaystyle{ k}\) w wielomianie
\(\displaystyle{ [x]_n = \sum_{k=0}^{n} s(n,k) \cdot x^k}\)
Liczby Strlinga I rodzaju, dowód własności
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Liczby Strlinga I rodzaju, dowód własności
Chyba raczej:myszka9 pisze:wielomian : \(\displaystyle{ x(x-1)...(x-(k-1))}\)
\(\displaystyle{ x(x-1)\ldots (x-(n-1))}\)
a standardowe oznaczenie tego to \(\displaystyle{ x^{\underline{n}}}\).
Teza zadania to nic innego jak:
\(\displaystyle{ [x]_n = \sum_k s(n,k) (-1)^{n+k}x^k}\)
a dowieść tego można prostą indukcją wykorzystując wzór rekurencyjny na \(\displaystyle{ s(n,k)}\).
Q.
-
myszka9
- Użytkownik
- Posty: 1185
- Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: tu i tam
- Podziękował: 528 razy
- Pomógł: 5 razy
Liczby Strlinga I rodzaju, dowód własności
Nie rozumiesz.
Chodzi mi o to, że ja udowadniam : \(\displaystyle{ c(n,k)=|s(n,k)|=(-1)^{k+n}s(n,k)}\)
gdzie \(\displaystyle{ c(n,k)=c(n-1,k-1)+(n-1)c(n-1,k)}\)
Jaki związek ma z tym wszystkim : \(\displaystyle{ S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)}\)
Mam już udowodnione :
\(\displaystyle{ c(n,k)=(-1)^{n+k}s(n,k)}\)
Chodzi mi o to, że ja udowadniam : \(\displaystyle{ c(n,k)=|s(n,k)|=(-1)^{k+n}s(n,k)}\)
gdzie \(\displaystyle{ c(n,k)=c(n-1,k-1)+(n-1)c(n-1,k)}\)
Jaki związek ma z tym wszystkim : \(\displaystyle{ S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)}\)
Mam już udowodnione :
\(\displaystyle{ c(n,k)=(-1)^{n+k}s(n,k)}\)
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Liczby Strlinga I rodzaju, dowód własności
Nie wiem czemu raz piszesz \(\displaystyle{ s}\), a raz \(\displaystyle{ S}\), ale w dobrym tonie jest wyjaśniać wszystkie oznaczenia, jeśli są różne od standardowych (a te zdecydowanie są).
Istotnie też nie rozumiem. Przede wszystkim Twojej postawy: nie spróbujesz nawet sama zrobić zadania, a tylko masz wielkie pretensje do świata, że świat nie podaje Ci dokładnych i gotowych rozwiązań.
Dopóki nie pokażesz swoich prób rozwiązań zgodnie z podaną wskazówką, pozwolę sobie zawiesić swój udział w tym wątku.
Q.
Istotnie też nie rozumiem. Przede wszystkim Twojej postawy: nie spróbujesz nawet sama zrobić zadania, a tylko masz wielkie pretensje do świata, że świat nie podaje Ci dokładnych i gotowych rozwiązań.
Dopóki nie pokażesz swoich prób rozwiązań zgodnie z podaną wskazówką, pozwolę sobie zawiesić swój udział w tym wątku.
Q.
-
myszka9
- Użytkownik
- Posty: 1185
- Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: tu i tam
- Podziękował: 528 razy
- Pomógł: 5 razy
Liczby Strlinga I rodzaju, dowód własności
Oj nie, nie .
To Ty pierwszy napisałeś \(\displaystyle{ S(n,k)}\) , ale widzę, że już poprawiłeś.
Pretensje? Raczej zmęczenie nauką.. Szkoda, że wczoraj nie zauważyłam, że jednak odpisałeś.
DOWÓD INDUKCYJNY :
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}| s(n,k)x^k|=(?)= \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n+k} s(n,k) x^k}\)
\(\displaystyle{ k=0}\)-> równość trywialna, obie strony to \(\displaystyle{ 0}\).
Założenie :\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}| s(n,k)x^k|= \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n+k} s(n,k) x^k}\)
zachodzi dla \(\displaystyle{ n-1.}\)
Teza : \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}| s(n,k)x^k|= \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n+k} s(n,k) x^k}\)
zachodzi dla \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}| s(n,k)x^k|= \sum_{k=0}^{n-1}| s(n,k)x^k + |s(n,n)x^n| = \\
\sum_{k=0}^{n-1}| s(n,k)x^k|+|1|x^n=\\
\sum_{k=0}^{n-1}| s(n,k)x^k|+1x^n = \mbox{ (korzystam z założenia) }\\
\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k} s(n,k)x^k + 1x^n = \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k} s(n,k)x^k + (-1)^{n+n=2n} s(n,n)x^n = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+1} s(n,k)x^k}\)
bo \(\displaystyle{ s(n,n)=0}\)
Koniec?
To Ty pierwszy napisałeś \(\displaystyle{ S(n,k)}\) , ale widzę, że już poprawiłeś.
Pretensje? Raczej zmęczenie nauką.. Szkoda, że wczoraj nie zauważyłam, że jednak odpisałeś.
DOWÓD INDUKCYJNY :
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}| s(n,k)x^k|=(?)= \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n+k} s(n,k) x^k}\)
\(\displaystyle{ k=0}\)-> równość trywialna, obie strony to \(\displaystyle{ 0}\).
Założenie :\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}| s(n,k)x^k|= \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n+k} s(n,k) x^k}\)
zachodzi dla \(\displaystyle{ n-1.}\)
Teza : \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}| s(n,k)x^k|= \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n+k} s(n,k) x^k}\)
zachodzi dla \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}| s(n,k)x^k|= \sum_{k=0}^{n-1}| s(n,k)x^k + |s(n,n)x^n| = \\
\sum_{k=0}^{n-1}| s(n,k)x^k|+|1|x^n=\\
\sum_{k=0}^{n-1}| s(n,k)x^k|+1x^n = \mbox{ (korzystam z założenia) }\\
\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k} s(n,k)x^k + 1x^n = \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k} s(n,k)x^k + (-1)^{n+n=2n} s(n,n)x^n = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+1} s(n,k)x^k}\)
bo \(\displaystyle{ s(n,n)=0}\)
Koniec?
Ostatnio zmieniony 12 cze 2013, o 23:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Łam za długie linie.
Powód: Łam za długie linie.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Liczby Strlinga I rodzaju, dowód własności
Całkowicie źle, tak jakbyś w ogóle nie rozumiała co robisz.
Dlaczego w podstawie indukcji sprawdzasz cokolwiek dla \(\displaystyle{ k}\), które jest tylko wskaźnikiem sumowania? Założenie w kroku indukcyjnym jest błędnie sformułowane - przecież tam powinno pojawić się \(\displaystyle{ s(n-1,k)}\)
Proponowałbym, żebyś na początek znalazła zależność między \(\displaystyle{ x^{\underline{n}}}\) oraz \(\displaystyle{ x^{\underline{n-1}}}\).
Q.
Dlaczego w podstawie indukcji sprawdzasz cokolwiek dla \(\displaystyle{ k}\), które jest tylko wskaźnikiem sumowania? Założenie w kroku indukcyjnym jest błędnie sformułowane - przecież tam powinno pojawić się \(\displaystyle{ s(n-1,k)}\)
Proponowałbym, żebyś na początek znalazła zależność między \(\displaystyle{ x^{\underline{n}}}\) oraz \(\displaystyle{ x^{\underline{n-1}}}\).
Q.