kule i szuflady

[leszczu450]

Cześć : )

Proszę Was o pomoc z zadaniem:

Mamy pięć szuflad ponumerowanych od jeden do pięć i piętnaście kul ponumerowanych od jeden do piętnaście. Na ile sposobów można umieścić kule w szufladach jeśli:
1. Nie zakładamy żadnych dodatkowych warunków.
2. W każdej szufladzie są dokładnie trzy kule.
3. Żadna szuflada nie jest pusta.

Prosiłbym o dokładne wyjaśnienie co się tutaj dzieje i dlaczego w pierwszym podpunkcie odpowiedź to \(\displaystyle{ 5^{15}}\)? A co do reszty to już kompletnie nie mam żadnych przypuszczeń .

Z góry dziękuję za pomoc : )

[Barbara777]

1. Pierwsza kula "ma do wyboru" 5 szuflad. Druga kula tak samo, czyli dwie pierwsze kule mozna rozmiescisc na \(\displaystyle{ 5\cdot 5}\) sposobow, itd 5 kul mozna rozmiescis na \(\displaystyle{ 5^{15}}\) sposobow.

2. Wybieramy 3 kule do pierwszej szuflady. Mozemy to zrobic na \(\displaystyle{ {15 \choose 3}}\) sposobow.
Teraz do drugiej. Trzy kule juz sa w pierwszej szufladzie, wiec mamy 15-3 kul i z nich wybieramy 3 na
\(\displaystyle{ {15-3\choose 3}}\) sposobow. I tak dalej, to bedzie

\(\displaystyle{ {15\choose 3}{15-3\choose 3}{15-3-3\choose 3}{15-3-3-3\choose 3}{15-3-3-3-3\choose 3}{15-3-3-3-3-3\choose 3}}\)

Jak sie toto uprosci to bedzie\(\displaystyle{ \frac{15!}{3!3!3!3!3!}=\frac{15!}{(3!)^5}}\)

[leszczu450]

Barbara777, dziękuję bardzo za pomoc : )

A da się podpunkt b) zrobić trochę inaczej?

Mi po głowie chodzi takie rozumowanie:

Wszystkich możliwych trójek jest \(\displaystyle{ {15 \choose 3}}\). Więc teraz kule będe traktował jak trójki kul. Pierwszą trójkę mogę włożyć na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów, drugą trójkę na \(\displaystyle{ 4}\) itd. ?

[Barbara777]

Wszystkich możliwych trójek jest \(\displaystyle{ {15 \choose 3}}\). Więc teraz kule będe traktował jak trójki kul. Pierwszą trójkę mogę włożyć na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów, drugą trójkę na \(\displaystyle{ 4}\) itd. ?

Chyba nie rozumien, o co ci chodzi Ale tak na czuja to nie wszystkich mozliwych trojek jest 15 po 3, a jedna trojke mozna wybrac na tyle sposobow. A potem dochodzi wybor tych pozostalych.

A w podpunkcie 3 trzeba chyba zastosowac zasade wlaczen i wylaczen.