dowody zwiazane z symbolem Newtona

[karolynqaa]

Jeśli ktoś posiada dowód któregoś z podpunktów to bardzo prosze o podanie

(h) \(\displaystyle{ \sum_{r=k}^n {r\choose k} = {n+1 \choose k+1}}\)
(j) \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n { n \choose k}^2 = {2n \choose n}}\)
(k) \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n { n \choose k} \frac{1}{k+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}}\)
(l) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n { n \choose k} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}\)
(m) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n { n \choose k}^2 k = (2n-1) { 2n-2 \choose n-1}}\)
(n) \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-p} { n \choose k} {n \choose p+k} = {2n \choose n-p}}\), dla n>p>0
(o) \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p} { n \choose k} {n-k \choose p-k} = 2^p{n \choose p}}\), dla n>p>0
(q) \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k { 4n \choose 2k} = \frac{(-1)^n}{2}(2^{2n} - {4n \choose 2n})}\), dla n>0

[tometomek91]

(j)
Zauważ, że \(\displaystyle{ { n \choose k}^2={ n \choose k}{ n \choose n-k}}\), czyli lewą stronę można zapisać jako \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n { n \choose k}{ n \choose n-k}}\). Czyli dzielimy zbiór \(\displaystyle{ 2n}\) elementowy na dwa zbiory \(\displaystyle{ n}\) elementowe i wybieramy z pierwszego \(\displaystyle{ k}\) elementów, a z drugiego \(\displaystyle{ n-k}\), łącznie \(\displaystyle{ n}\) elementów ze zbioru \(\displaystyle{ 2n}\) elementowego. Sumując po wszystkich \(\displaystyle{ k}\) otrzymujemy ilość sposobów wyboru \(\displaystyle{ n}\) elementów ze zbioru \(\displaystyle{ 2n}\) elementowego, czyli to co po prawej stronie.

[karolynqaa]

dziękuje i prosiłabym jeszcze o podpunkt h) w szczególności

[tometomek91]

(o)
Lewa strona: najpierw wybieramy \(\displaystyle{ k}\) elementów ze zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego, a następnie z pozostałych \(\displaystyle{ n-k}\) elementów \(\displaystyle{ p-k}\). Czyli łącznie wybieramy \(\displaystyle{ p}\) elementów ze zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego dzieląc go na dwie części: \(\displaystyle{ k}\) elementową i \(\displaystyle{ n-k}\) elementową. Sumując po \(\displaystyle{ k}\) dostajemy wszystkie możliwe takie podziały. Z prawej strony mamy wybór \(\displaystyle{ p}\) elementów ze zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego i wybieramy, które z \(\displaystyle{ p}\) elementów należą do pierwszej części, a które do drugiej.

-- 5 cze 2013, o 16:00 --

Podpunkt (h) nie działa dla \(\displaystyle{ n=k=1}\). Na pewno dobrze przepisałaś?

[karolynqaa]

w tym h) powinno być \(\displaystyle{ r=0}\) zamiast \(\displaystyle{ r=k}\). Masz racje był błąd

[tometomek91]

no to wtedy też jest źle ;p mamy mniejszą liczbę u góry w symbolu newtona..

[karolynqaa]

aha. no tak. dzięki wielkie )