wyznaczyć funkcję tworzącą

[leszczu450]

Cześć : )

Prosiłbym Was o sprawdzenie takiego zadania:

Wyznacz funkcję tworzącą ciąg
\(\displaystyle{ c_{n+2} - 8c_{n+1} + 7c_n = 1}\)

Zrobiłem to zadanie troche inaczej niż zazwyczaj się to pewnie robi więc proszę powiedzcie mi czy takie rozwiązanie jest dobre.

\(\displaystyle{ c_0 =0 , c_1 =1}\)

\(\displaystyle{ C(x)= \sum_{n=0}^{\infty} (c_n -1) \cdot x^n}\)

\(\displaystyle{ c_{n+2} - 8c_{n+1} + 7c_n = 1 / \cdot x^{n+2}}\)

\(\displaystyle{ c_{n+2} \cdot x^{n+2} - 8c_{n+1} \cdot x^{n+2} + 7c_n \cdot x^{n+2} = x^{n+2}}\)

\(\displaystyle{ (c_{n+2}-1) \cdot x^{n+2} - 8c_{n+1} \cdot x^{n+2} + 7c_n \cdot x^{n+2} = 0}\)

\(\displaystyle{ (c_{n+2}-1) \cdot x^{n+2} - 8x \cdot c_{n+1} \cdot x^{n+1} + 7x^2 \cdot c_n \cdot x^{n} = 0}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (c_{n+2}-1) \cdot x^{n+2} - 8x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} c_{n+1} \cdot x^{n+1} + 7x^2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot x^{n} = 0}\)

\(\displaystyle{ (C(x)-(c_0 -1)-(c_1 -1)x) - 8x ( \cdot C(x) - (c_0 -1)) + 7x^2 \cdot C(x) = 0}\)

\(\displaystyle{ C(x)+1 -8x(C(x) +1) + 7x^2 C(x)= 0}\)

\(\displaystyle{ C(x)\left[ 1 - 8x + 7x^2\right] = 8x -1}\)

\(\displaystyle{ C(x)= \frac{8x-1}{1-8x + 7x^2}}\)

Z góry dziękuję za pomoc : )

[bartek118]

Robi się to dokładnie w taki sposób, ale niestety - o ile mianownik jest ok, to chyba jest błąd rachunkowy, ponieważ licznik się nie zgadza - tj. powinno być \(\displaystyle{ C(0) = c_0}\), a jest \(\displaystyle{ C(0) = -1}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ C(x)= \sum_{n=0}^{\infty} (c_n -1) \cdot x^n}\)

Tak zdefiniowany obiekt nie jest funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ c_n}\), tylko ciągu \(\displaystyle{ c_n-1}\). Moim zdaniem to niezbyt wygodne rozpatrywać ciąg \(\displaystyle{ c_n-1}\) zamiast \(\displaystyle{ c_n}\), a jeśli już chcesz tak robić, to rób to konsekwentnie i nie twierdź, że...

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (c_{n+2}-1) \cdot x^{n+2} - 8x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} c_{n+1} \cdot x^{n+1} + 7x^2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot x^{n} = 0}\)
\(\displaystyle{ (C(x)-(c_0 -1)-(c_1 -1)x) - 8x ( \cdot C(x) - (c_0 -1)) + 7x^2 \cdot C(x) = 0}\)

... suma \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot x^{n}}\) jest równa \(\displaystyle{ C(x)}\), skoro zgodnie z Twoim oznaczeniem \(\displaystyle{ C(x)}\) nie jest funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ c_n}\).

Q.

[leszczu450]

Qń, a da się to moje rozwiązanie gdzieś poprawić żeby to było prawidłowe? Czy z góry to już przegrana sprawa? : )

[Qń]

Można, ale nie wiem po co tak komplikować sobie życie.

Równość:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (c_{n+2}-1) \cdot x^{n+2} - 8x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} c_{n+1} \cdot x^{n+1} + 7x^2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot x^{n} = 0}\)
można przekształcić do:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (c_{n+2}-1) \cdot x^{n+2} - 8x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (c_{n+1}-1) \cdot x^{n+1} -\\ -8\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+2} + 7x^2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty}( c_n -1)\cdot x^{n} +7\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+2}= 0}\)
i teraz dopiero przejść na \(\displaystyle{ C(x)}\).

Ale rzecz jasna o wiele prościej i naturalniej jest zajmować się ciągiem \(\displaystyle{ c_n}\), a nie \(\displaystyle{ c_n-1}\).

Q.

[leszczu450]

Qń, no i w sumie to własnie od tego uciekałem. Na kolokwium zgłupiałem widząc taką sumę: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}x^{n+2}}\) i dlatego własnię połączyłem ten kawałek z \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}c_{n+2} x^{n+2}}\). I dlatego wyszły u mnie takie dziwne rzeczy. A przeciez wystarczy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego...