wzór rekurencyjny

[leszczu450]

Cześć : )

Nie wiem czy to dobry dział do tego zadania, ale mimo wszystko je tutaj wstawiam.

Niech \(\displaystyle{ (b_n)}\) będzie ciągiem złożonym z \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\) takim, że żadne trzy dwójki nie stoją obok siebie. Napisać wzór rekurenycjny opisujący daną zależność.

Ja to zadanie zrobiłem tak:

Wypisałem na początku wszystkie możliwe dwie pierwsze liczby po czym kolajne można wstawić na \(\displaystyle{ n-2}\) sposobów. Wyglądają one tak:
1 1
1 2
1 3
1 4
2 1
2 3
2 4
3 1
3 2
3 3
3 4
4 1
4 2
4 3
4 4
Mam więc \(\displaystyle{ 15b_{n-2}}\)

Jeśli na początku będą dwie dwójki to następną cyfrą może być jedynka, trójka lub czwórka po czym mogę wstawić \(\displaystyle{ n-3}\) cyfr.
Mam więc \(\displaystyle{ 3b_{n-3}}\)

Czyli wzór rekurenycjny mojego ciągu wygląda tak: \(\displaystyle{ b_n = 15b_{n-2} + 3b_{n-3}}\)

Czy to zadanie jest dobrze zrobione?

Z góry dziękuję : )

[Qń]

Jest źle - przecież jeśli na drugim miejscu jest dwójka, to to co stoi dalej nie może być dowolnym ciągiem spełniającym warunki zadania, bo nie może zaczynać się od dwóch dwójek.

Prawidłowo będzie tak - możliwe początki (jeśli już upierasz się przy ucinaniu początku, bo zwyczajowo raczej ucina się koniec) to:
\(\displaystyle{ 1\\
3\\
4\\
21\\
23\\
24\\
221\\
223\\
224}\)
W takim razie mamy:
\(\displaystyle{ b_n = 3b_{n-1} + 3b_{n-2} + 3b_{n-3}}\)
i do tego trzeba jeszcze dodać warunki początkowe: \(\displaystyle{ b_0=1,b_1=4,b_2=16}\).

Q.

[leszczu450]

Qń, kurcze! To źle zrobiłem ajj : ) Dzięki wielkie za pomoc : )