Cześć : )
Mam problem z takim typem zadań.
Ile jest całkowitoliczbowych rozwiązań równania:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 +x_5 + x_6 = 30}\)
spełniających warunki:
\(\displaystyle{ x_1 \le 5 , x_2 \le 10 , x_3 \le 15 x_4 \le 21 , x_i \ge 0}\)
Nie wiem jak to rozwiązać. Proszę o pomoc !
ilość całkowitoliczbowych rozwiązań
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
ilość całkowitoliczbowych rozwiązań
I sposób - funkcje tworzące.
Wystarczy znaleźć współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{30}}\) w wyrażeniu:
\(\displaystyle{ (1+ x+ \ldots + x^{5}) \cdot (1+ x+ \ldots + x^{10}) \cdot (1+ x+ \ldots + x^{15}) \cdot \\ \cdot (1+ x+ \ldots + x^{21}) \cdot (1+ x+ \ldots ) \cdot (1+ x+ \ldots )}\)
Trzeba zwinąć nawiasy, skorzystać ze wzoru na \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^{n+1}}}\) i potem trochę porachować (właściwie to nieco więcej niż "trochę").
II sposób - zasada włączeń i wyłączeń.
Niech:
\(\displaystyle{ A_1}\) - zbiór rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych takich, że \(\displaystyle{ x_1\ge 6}\)
\(\displaystyle{ A_2}\) - zbiór rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych takich, że \(\displaystyle{ x_2\ge 11}\)
\(\displaystyle{ A_3}\) - zbiór rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych takich, że \(\displaystyle{ x_3\ge 16}\)
\(\displaystyle{ A_4}\) - zbiór rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych takich, że \(\displaystyle{ x_4\ge 22}\)
Szukamy:
\(\displaystyle{ |A_1' \cap A_2' \cap A_3' \cap A_4'|}\)
a potrafimy policzyć wszystkie przecięcia \(\displaystyle{ A_i}\) (jak?). Wystarczy więc użyć jednej z dwóch postaci reguły włączeń i wyłączeń.
Q.
Wystarczy znaleźć współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{30}}\) w wyrażeniu:
\(\displaystyle{ (1+ x+ \ldots + x^{5}) \cdot (1+ x+ \ldots + x^{10}) \cdot (1+ x+ \ldots + x^{15}) \cdot \\ \cdot (1+ x+ \ldots + x^{21}) \cdot (1+ x+ \ldots ) \cdot (1+ x+ \ldots )}\)
Trzeba zwinąć nawiasy, skorzystać ze wzoru na \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^{n+1}}}\) i potem trochę porachować (właściwie to nieco więcej niż "trochę").
II sposób - zasada włączeń i wyłączeń.
Niech:
\(\displaystyle{ A_1}\) - zbiór rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych takich, że \(\displaystyle{ x_1\ge 6}\)
\(\displaystyle{ A_2}\) - zbiór rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych takich, że \(\displaystyle{ x_2\ge 11}\)
\(\displaystyle{ A_3}\) - zbiór rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych takich, że \(\displaystyle{ x_3\ge 16}\)
\(\displaystyle{ A_4}\) - zbiór rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych takich, że \(\displaystyle{ x_4\ge 22}\)
Szukamy:
\(\displaystyle{ |A_1' \cap A_2' \cap A_3' \cap A_4'|}\)
a potrafimy policzyć wszystkie przecięcia \(\displaystyle{ A_i}\) (jak?). Wystarczy więc użyć jednej z dwóch postaci reguły włączeń i wyłączeń.
Q.
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
ilość całkowitoliczbowych rozwiązań
Qń, pierwsza metoda niestety nie jest dla mnie. Wymage tutaj jest użycie zasady włączeń i wyłączeń.
Robię więc tak:
Wszystkich rozwiązań mam: \(\displaystyle{ \left| A\right|={30 + 6-1 \choose 6-1} = {35 \choose 5}}\)
Teraz szukam:
\(\displaystyle{ \left| A_i\right|= 6{30 -6 +6-1 \choose 6-1}= 6 {29 \choose 5}}\)
Dobrzę to robię?
Szczerze mówiąc, totalnie nie wiem co robię. Mam jakiś schemat napisany w zeszycie i z niego korzystam. Nie rozumiem do końca czemu coś odejmuje w tych symbolach Newtona i ogólnie nie rozumiem metody działania : ) Pomożesz mi to ogarnąć? : )-- 4 cze 2013, o 00:39 --Czy poprawnym rozwiązaniem będzie tutaj:
\(\displaystyle{ {35 \choose 5} - {29 \choose 5} - {24 \choose 5} - {19 \choose 5} - {13 \choose 5} + {18 \choose 5} + {13 \choose 5} + {7 \choose 5} + {8 \choose 5}}\)
?
Robię więc tak:
Wszystkich rozwiązań mam: \(\displaystyle{ \left| A\right|={30 + 6-1 \choose 6-1} = {35 \choose 5}}\)
Teraz szukam:
\(\displaystyle{ \left| A_i\right|= 6{30 -6 +6-1 \choose 6-1}= 6 {29 \choose 5}}\)
Dobrzę to robię?
Szczerze mówiąc, totalnie nie wiem co robię. Mam jakiś schemat napisany w zeszycie i z niego korzystam. Nie rozumiem do końca czemu coś odejmuje w tych symbolach Newtona i ogólnie nie rozumiem metody działania : ) Pomożesz mi to ogarnąć? : )-- 4 cze 2013, o 00:39 --Czy poprawnym rozwiązaniem będzie tutaj:
\(\displaystyle{ {35 \choose 5} - {29 \choose 5} - {24 \choose 5} - {19 \choose 5} - {13 \choose 5} + {18 \choose 5} + {13 \choose 5} + {7 \choose 5} + {8 \choose 5}}\)
?