Wybiermy conajmniej 5 czerwonych piłek

[myszka9]

Na ile sposobów można wybrać \(\displaystyle{ 10}\) piłek spośród nieograniczonej liczby czerwonych, niebieskich i zielonych, jeśli chcemy otrzymać co najmniej \(\displaystyle{ 5}\) czerwonych piłek

odp : \(\displaystyle{ {5+10-1 \choose 5}}\)

a nie powinno być :
\(\displaystyle{ {5+10-1 \choose 5} + {4+10-1 \choose 4} + {3+10-1 \choose 3} + {2+10-1 \choose 2} + {1+10-1 \choose 1}}\)

Skoro CONAJMNIEJ \(\displaystyle{ 5}\) czerownych piłek chcemy mieć, więc możemy mieć \(\displaystyle{ 6}\) lub \(\displaystyle{ 7 ,8,9,10}\) ?

[Chromosom]

Niech \(\displaystyle{ x_1}\) - liczba czerwonych kul. Jeśli liczba ta jest równa co najmniej 5, oznacza to, że \(\displaystyle{ x_1\ge5}\).

Oba rozwiązania są błędne. Sytuację można przedstawić za pomocą równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=10}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3\in\mathbb Z}\) oraz \(\displaystyle{ x_1\ge5,\ \ x_2\ge0,\ \ x_3\ge0}\). Przedstawmy teraz równanie w postaci \(\displaystyle{ (x_1-5)+x_2+x_3=10-5}\), czyli \(\displaystyle{ (x_1-5)+x_2+x_3=5}\). Niech teraz \(\displaystyle{ u_1=x_1-5,\ \ u_2=x_2,\ \ u_3=x_3}\). Otrzymamy równanie \(\displaystyle{ u_1+u_2+u_3=5}\), gdzie \(\displaystyle{ u_1\ge0,\ \ u_2\ge0,\ \ u_3\ge0}\). Liczbę rozwiązań takiego równania pozostawiam do samodzielnego wyznaczenia.