Równanie rekurencyjne kwadratowe

[JakimPL]

Cześć, czy ktoś ma pojęcie, jak rozwiązać równania postaci:

\(\displaystyle{ x_{n+1} =a x_n-b \left(x_n\right)^2}\)

lub, z grubej rury:

\(\displaystyle{ x_{n+1} =a_n x_n-b_n \left(x_n\right)^2}\)

Interesują mnie tylko dokładnie wyniki, mogą być wyrażone szeregami lub funkcjami specjalnymi. Z góry dzięki za pomoc.

[szw1710]

Tak z głupia, bo nie wiem jak Ale tłumacząc to na równanie różniczkowe dostaniesz \(\displaystyle{ y'=ay-by^2}\), a to równanie o zmiennych rozdzielonych. Może da się wrócić z tym do ciągów podobnie jak dla rekurencji liniowych?

Gdyby się dało, to w drugim przypadku powinno iść analogicznie dla \(\displaystyle{ a_n=\alpha b_n}\).

[JakimPL]

Może da się wrócić z tym do ciągów podobnie jak dla rekurencji liniowych?

Tylko jak? Wynik równania różniczkowego jest zgodny z przewidywaniami - wykładnicza temperowana.

[yorgin]

Poszukałem w książce, i znalazłem trochę na temat równań nieliniowych.

Powiedzmy, że \(\displaystyle{ x_{n+1}=S(x_n)}\)

jest nieliniowym równaniem, gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest różniczkowalna.

Załóżmy, że znane jest rozwiązanie \(\displaystyle{ \xi(x)}\) równania

\(\displaystyle{ \xi(x)\frac{dS}{dx}=C\xi(S(x))}\) dla \(\displaystyle{ \xi(x)\neq 0}\) w pewnym otwartym przedziale \(\displaystyle{ I}\).

Wprowadzamy nową zmienną

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\xi(x)}, x\in I}\)

Sprawdzamy, że

\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}y(S(x))=C\frac{dy}{dx}}\)

a po całkowaniu

\(\displaystyle{ y(S(x))=Cy(x)+D}\)

skąd wynika, że

\(\displaystyle{ y_{n+1}=Cy_n+D, y_n=y(x_n)}\)

Taka metoda jest przedstawiona i wykorzystywana. Jedyny problem to znalezienie \(\displaystyle{ \xi}\).

Dla równania logistycznego

\(\displaystyle{ x_{n+1}=2x_n(1-x_n)}\)

mamy

\(\displaystyle{ S(x)=2x(1-x)}\)

stąd

\(\displaystyle{ C\xi(2x(1-x))=\xi(x)\frac{dS}{dx}}\)

Magia: szukamy \(\displaystyle{ \xi(x)=ax+b}\)

stąd wychodzi

\(\displaystyle{ \xi(x)=-x+\frac{1}{2}}\)

Rozwiązujemy równanie różniczkowe i mamy

\(\displaystyle{ y=K-\ln\left(\frac{1}{2}-x\right)}\)

Dobieramy \(\displaystyle{ K=0}\) (możemy brać dowolne), stąd

\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}-e^{-y}}\)

Stąd po rachunkach

\(\displaystyle{ e^{-y_{n+1}}=e^{\ln 2-2y_n}}\)

\(\displaystyle{ y_{n+1}=2y_n-ln 2}\)

Jego rozwiązanie

\(\displaystyle{ y_n=c2^n+\ln 2}\).

Stąd

\(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{2}\left(1-A^{2^n}\right)}\)


Metoda jest ogólna, działa dla każdego równania nieliniowego. Ma jedną wadę - znalezienie \(\displaystyle{ \xi}\). Nie jest też dobrze napisana w książce od strony teoretycznej, ale myślę, że to cudo pomoże troszkę.

P.S. Mam nadzieję, że nie ma tu błędów obliczeniowych

[JakimPL]

Dzięki wielkie, to się przyda. Jutro przeanalizuję od początku tę metodę.

Równanie logistyczne jako przykład to nawet dokładnie to, czego szukam .

[Ponewor]

W jaki sposób poszukiwać \(\displaystyle{ \xi\left( x\right)}\)?

[yorgin]

Zacytuję odpowiedni fragment z przeykładu:

mamy

\(\displaystyle{ S(x)=2x(1-x)}\)

stąd

\(\displaystyle{ C\xi(2x(1-x))=\xi(x)\frac{dS}{dx}}\)

Magia: szukamy \(\displaystyle{ \xi(x)=ax+b}\)

Można się pokusić o metody przewidywania/zgadywania rozwiązań - przypuszczalnie podobnie, jak to się robi dla równań rekurencyjnych liniowych niejednorodnych lub dla równań różniczkowych. Nie znam jednak żadnych takich metod, a podręcznik, z którego powyższą metodę streściłem, również nie zawiera wskazówek czy też informacji co do metod znajdywania \(\displaystyle{ \xi(x)}\). Nie wgłębiałem się w temat i raczej nie zamierzam tego robić.

Dla porządku podręcznik:

Dobiesław Bobrowski, Wprowadzenie do systemów dynamicznych z czasem ciągłym. Wydawnictwo UAM w Poznaniu.

[brzoskwinka1]

Zobacz też tu:

[Ponewor]

No to akurat widziałem, ale nie pomogło, próbuję znaleźć rozwiązanie równania jak wyczytałem tutaj i w paru miejscach chyba logistycznego, czyli \(\displaystyle{ x_{n+1}=a x_n\left(1-x_n \right)}\) dla \(\displaystyle{ 0 < x_n < 1}\). W szczególnym przypadku dla \(\displaystyle{ a=4}\), zrobiłem postawienie trygononetryczne \(\displaystyle{ x_1 =\sin\alpha}\) i to już bardzo ładnie wychodzi, ale tej metody w ogólnym przypadku raczej użyć nie mogę.

[brzoskwinka1]

Zobacz też tu:

[Ponewor]

Też widziałem, ale i tak dziękuję.

[brzoskwinka1]

W każdym bądź razie jest tam napisane, że :

The only exact solutions known are for r=-2, r=2 and r=4 ,

co trochę zniechęca do poszukiwań jakiejś ogólnej metody.

[Ponewor]

No widziałem. Ale chociaż jakieś przybliżone rezultaty by się przydały. Albo wiedza o kształcie krzywej.