Wyznacz wzór analityczny pozwalający wyliczyć n-ty wyraz ciągu okręślonego rekurencyjnie \(\displaystyle{ a_0=2, a_1=5}\) oraz \(\displaystyle{ a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}}\)
1) Najpierw wyznaczę funkcję tworzącą
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 2+5x + \sum_{n=2}^{\infty}a_n x^n = 2+5x + \sum_{n=2}^{\infty} (5a_{n-1}-6a_{n-2})x^n = 2+5x + x \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n + x^2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 2+5x+x(A(x)-2) + x^2A(x) = 2+5x+A(x)x - 2x + x^2A(x)}\)
Porównując :
\(\displaystyle{ A(x)=2+3x+A(x)( x+x^2)}\)
\(\displaystyle{ 1=\frac{2+3x}{A(x)} + x+ x^2}\)
\(\displaystyle{ 1-x-x^2 = \frac{2+3x}{A(x)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x-x^2} = \frac{A(x)}{2+3x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2+3x}{1-x-x^2}=A(x)}\)
Później chciałabym to zrobić podobnie jak wyprowadza się wzór Bineta, ok?
