Wzór ogólny ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie
Wzór ogólny ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie
Podaj ogólny wzór oraz udowodnij indukcyjnie jego poprawność dla ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie następująco: \(\displaystyle{ a_{n+1}=4a_{n}-6, a_{0} =3}\)
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Wzór ogólny ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie
Albo funkcje tworzące - zależy od upodobań.
Zastanawiam się natomiast, jak dowieść indukcyjnie poprawności wzoru ogólnego - zamiast tego proponowałbym po prostu podstawienie otrzymanej zależności po prawej stronie równania \(\displaystyle{ a_n=4a_{n-1}-6}\) w celu sprawdzenia, czy po przekształceniach uzyska się lewą stronę.
Zastanawiam się natomiast, jak dowieść indukcyjnie poprawności wzoru ogólnego - zamiast tego proponowałbym po prostu podstawienie otrzymanej zależności po prawej stronie równania \(\displaystyle{ a_n=4a_{n-1}-6}\) w celu sprawdzenia, czy po przekształceniach uzyska się lewą stronę.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wzór ogólny ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie
Początkowe wyrazy ciągu to \(\displaystyle{ 3,6,18,66,258,\ldots}\), czyli \(\displaystyle{ 2+1,2+4,2+16,2+64,2+256,\ldots}\), a stąd można postawić hipotezę, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a_n=4^n+2}\). Potwierdzić ją można rzecz jasna indukcyjnie.
Q.
Q.