Wzór ogólny ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie

[Przemmek]

Podaj ogólny wzór oraz udowodnij indukcyjnie jego poprawność dla ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie następująco: \(\displaystyle{ a_{n+1}=4a_{n}-6, a_{0} =3}\)

[miodzio1988]

równanie charakterystyczne?

[Chromosom]

Albo funkcje tworzące - zależy od upodobań.

Zastanawiam się natomiast, jak dowieść indukcyjnie poprawności wzoru ogólnego - zamiast tego proponowałbym po prostu podstawienie otrzymanej zależności po prawej stronie równania \(\displaystyle{ a_n=4a_{n-1}-6}\) w celu sprawdzenia, czy po przekształceniach uzyska się lewą stronę.

[Qń]

Początkowe wyrazy ciągu to \(\displaystyle{ 3,6,18,66,258,\ldots}\), czyli \(\displaystyle{ 2+1,2+4,2+16,2+64,2+256,\ldots}\), a stąd można postawić hipotezę, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a_n=4^n+2}\). Potwierdzić ją można rzecz jasna indukcyjnie.

Q.