Układ trzech kongruencji

[Serphis]

Mam taki nietypowy układ kongruencji

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv N \mod 7 \\ x \equiv 2N+1 \mod 22 \\ x \equiv 4N+3 \mod 15 \end{cases}}\)

Z tego układu stwierdzam, że \(\displaystyle{ N={0,1,2}}\) ponieważ pozostałe wartości przekroczą liczbę mod w \(\displaystyle{ 4n+3}\)

Zatem
\(\displaystyle{ 4n+3<15}\)
\(\displaystyle{ 4n<12}\)
\(\displaystyle{ n<3}\)

1. N=0

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 0 \mod 7 \\ x \equiv 1 \mod 22 \\ x \equiv 3 \mod 15 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x=7i}\)

więc

\(\displaystyle{ 7i \equiv 1 \mod 22}\)

i=6

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 133 \mod 154 \\ x \equiv 3 \mod 15 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x=133+154j}\)

j=5 spełnia wymagania


\(\displaystyle{ x=133+154*5=903}\)

więc ogólnie rozwiązaniem jest

\(\displaystyle{ x=903+(22*15*7)k}\)


2. N=1

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 1 \mod 7 \\ x \equiv 3 \mod 22 \\ x \equiv 7 \mod 15 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x=1+7i}\)

więc

\(\displaystyle{ 1+7i \equiv 1 \mod 22}\)

i=16

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 113 \mod 154 \\ x \equiv 3 \mod 15 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x=113+154j}\)

j=10 spełnia wymagania

\(\displaystyle{ x=133+154*10=1653}\)

więc ogólnie rozwiązaniem jest

\(\displaystyle{ x=1653+(22*15*7)k}\)

3) N=2

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 2 \mod 7 \\ x \equiv 5 \mod 22 \\ x \equiv 11 \mod 15 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x=2+7i}\)

więc

\(\displaystyle{ 2+7i \equiv 1 \mod 22}\)

i=13 z Chińskiego twierdzenia o resztach

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 93 \mod 154 \\ x \equiv 3 \mod 15 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x=93+154j}\)

j=2 spełnia wymagania

\(\displaystyle{ x=133+154*2=401}\)

więc ogólnie rozwiązaniem jest

\(\displaystyle{ x=401+(22*15*7)k}\)




Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

Pozdrawiam
Serphis

[Hassgesang]

Z tego układu stwierdzam, że N={0,1,2} ponieważ pozostałe wartości przekroczą liczbę mod w 4n+3

Takie założenie jest niepoprawne, przecież \(\displaystyle{ 7 \equiv 10 \mod 3}\), chociaż obie liczby są większe od trójki.

Wydaje mi się, że zgubiłeś jedną serię rozwiązań: \(\displaystyle{ x = 401 + 2310 k}\), \(\displaystyle{ x = 903 + 2310 k}\), \(\displaystyle{ x = 1807 + 2310 k}\) dla całkowitego \(\displaystyle{ k}\). Dodatkowo, \(\displaystyle{ 1653}\) spełnia tylko pierwsze dwie kongruencje.

[Serphis]

Dostałem niepełną treść zadania, N też było podane i to zmienia postać rzeczy, więc cały temat można zamknąć

[Hassgesang]

Wypadałoby o tym napisać, pomimo to - jedno z Twoich rozwiązań jest błędne, nawet przy założeniu, że znasz \(\displaystyle{ N}\).