Mam taki nietypowy układ kongruencji
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv N \mod 7 \\ x \equiv 2N+1 \mod 22 \\ x \equiv 4N+3 \mod 15 \end{cases}}\)
Z tego układu stwierdzam, że \(\displaystyle{ N={0,1,2}}\) ponieważ pozostałe wartości przekroczą liczbę mod w \(\displaystyle{ 4n+3}\)
Zatem
\(\displaystyle{ 4n+3<15}\)
\(\displaystyle{ 4n<12}\)
\(\displaystyle{ n<3}\)
1. N=0
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 0 \mod 7 \\ x \equiv 1 \mod 22 \\ x \equiv 3 \mod 15 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=7i}\)
więc
\(\displaystyle{ 7i \equiv 1 \mod 22}\)
i=6
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 133 \mod 154 \\ x \equiv 3 \mod 15 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=133+154j}\)
j=5 spełnia wymagania
\(\displaystyle{ x=133+154*5=903}\)
więc ogólnie rozwiązaniem jest
\(\displaystyle{ x=903+(22*15*7)k}\)
2. N=1
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 1 \mod 7 \\ x \equiv 3 \mod 22 \\ x \equiv 7 \mod 15 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=1+7i}\)
więc
\(\displaystyle{ 1+7i \equiv 1 \mod 22}\)
i=16
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 113 \mod 154 \\ x \equiv 3 \mod 15 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=113+154j}\)
j=10 spełnia wymagania
\(\displaystyle{ x=133+154*10=1653}\)
więc ogólnie rozwiązaniem jest
\(\displaystyle{ x=1653+(22*15*7)k}\)
3) N=2
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 2 \mod 7 \\ x \equiv 5 \mod 22 \\ x \equiv 11 \mod 15 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=2+7i}\)
więc
\(\displaystyle{ 2+7i \equiv 1 \mod 22}\)
i=13 z Chińskiego twierdzenia o resztach
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 93 \mod 154 \\ x \equiv 3 \mod 15 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=93+154j}\)
j=2 spełnia wymagania
\(\displaystyle{ x=133+154*2=401}\)
więc ogólnie rozwiązaniem jest
\(\displaystyle{ x=401+(22*15*7)k}\)
Czy takie rozwiązanie jest poprawne?
Pozdrawiam
Serphis
Układ trzech kongruencji
-
- Użytkownik
- Posty: 206
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 17 razy
Układ trzech kongruencji
Takie założenie jest niepoprawne, przecież \(\displaystyle{ 7 \equiv 10 \mod 3}\), chociaż obie liczby są większe od trójki.Z tego układu stwierdzam, że N={0,1,2} ponieważ pozostałe wartości przekroczą liczbę mod w 4n+3
Wydaje mi się, że zgubiłeś jedną serię rozwiązań: \(\displaystyle{ x = 401 + 2310 k}\), \(\displaystyle{ x = 903 + 2310 k}\), \(\displaystyle{ x = 1807 + 2310 k}\) dla całkowitego \(\displaystyle{ k}\). Dodatkowo, \(\displaystyle{ 1653}\) spełnia tylko pierwsze dwie kongruencje.
-
- Użytkownik
- Posty: 206
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 17 razy
Układ trzech kongruencji
Wypadałoby o tym napisać, pomimo to - jedno z Twoich rozwiązań jest błędne, nawet przy założeniu, że znasz \(\displaystyle{ N}\).