Cześć, witam.
Otóż mam takie o równanie
\(\displaystyle{ a_{n+1}=5(n+1)a_{n} + (-1) ^{n+1} \cdot 7 ^{n} \cdot (5n+12)}\)
I do ułożenia równania charakterystycznego psuje mi zabawę te \(\displaystyle{ 5n}\) przy \(\displaystyle{ a _{n}}\).
Jak sobie poradzić z tym?
Czy może raczej dozwolone jest traktowanie tego n jako zwykłego współczynnika?
(innymi słowy, czy mogę to olać i cisnąć równianie charakterystyczne?)
Równanie rekurencyjne z 'n' jako współczynnik
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 lip 2012, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
Równanie rekurencyjne z 'n' jako współczynnik
Ostatnio zmieniony 2 cze 2013, o 09:34 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 lip 2012, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
Równanie rekurencyjne z 'n' jako współczynnik
A rzeczywiście.. To pochodna..
Czyli kłania nam się równanie Bernoulliego, tak?
Czyli kłania nam się równanie Bernoulliego, tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Równanie rekurencyjne z 'n' jako współczynnik
Równanie charakterystyczne można stosować tylko dla rekurencji liniowych o stałych współczynnikach.
W tym wypadku możesz albo użyć czynnika sumacyjnego (na przykład dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ 5^{n+1}(n+1)!}\)), albo użyć funkcji tworzących (co doprowadzi do równania różniczkowego).
Q.
W tym wypadku możesz albo użyć czynnika sumacyjnego (na przykład dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ 5^{n+1}(n+1)!}\)), albo użyć funkcji tworzących (co doprowadzi do równania różniczkowego).
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 lip 2012, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
Równanie rekurencyjne z 'n' jako współczynnik
Jak na razie ogarnąłem materiał tylko do r. charakterystycznych, ale za chwilę poczytam o tym co mówisz i spróbuję.
Dam znać co wyszło.
Dzięki za wskazówki!
Dam znać co wyszło.
Dzięki za wskazówki!
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie rekurencyjne z 'n' jako współczynnik
No dobrze a co jeśli to równanie pojawiło się przy równaniach różniczkowychW tym wypadku możesz albo użyć czynnika sumacyjnego (na przykład dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ 5^{n+1}(n+1)!}\)), albo użyć funkcji tworzących (co doprowadzi do równania różniczkowego).
Użycie wykładniczej funkcji tworzącej nie wymaga rozwiązania równania różniczkowego
Mógłbyś coś więcej napisać o tym czynniku sumacyjnym
-- 29 kwietnia 2014, 18:48 --
\(\displaystyle{ a_{n+1}=5(n+1)a_{n} + (-1) ^{n+1} \cdot 7 ^{n} \cdot (5n+12)\\
a_{n}=5na_{n-1}+\left( -1\right)^{n} \cdot 7^{n-1} \cdot \left( 5n+7\right)\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}} = \sum_{n=1}^{ \infty }{ \frac{5}{\left( n-1\right)! } a_{n-1}x^{n}}+\frac{5}{7} \sum_{n=1}^{ \infty }{ \frac{\left( -7\right)^n }{\left( n-1\right)! } x^{n}}+ \sum_{n=1}^{ \infty }{ \frac{\left( -7\right)^{n} }{n!} x^{n}} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}}=A\left( x\right)\\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}} -a_{0} \right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{ \frac{5}{n!}a_{n}x^{n+1} } + \frac{5}{7} \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{\left( -7\right)^{n+1}x^{n+1} }{n!} }+\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{ \frac{\left( -7\right)^n }{n!}x^n }-1 \right)\\
A\left( x\right)-a_{0}=5xA\left( x\right)=-5xe^{-7x}+e^{-7x}-1\\
A\left( x\right)\left( 1-5x\right)=e^{-7x}\left( 1-5x\right)+a_{0}-1\\
A\left( x\right)=e^{-7x}+\left( a_{0}-1\right) \cdot \frac{1}{1-5x}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left(\left( -7\right)^{n}+\left( a_{0}-1\right) \cdot n! \cdot 5^{n} \right) \cdot \frac{x^n}{n!} } \\
a_{n}=\left( -7\right)^{n}+\left( a_{0}-1\right) \cdot n! \cdot 5^{n}\\}\)-- 30 kwietnia 2014, 17:30 --
Jeżeli zastosujesz narzucające się podstawienie to można z wielomianu charakterystycznego skorzystać(innymi słowy, czy mogę to olać i cisnąć równianie charakterystyczne?)
Rozwiązanie szczególe możesz znaleźć uzmienniając stałe