funkcja tworzaca ciagu arytmetycznego

[Majka99]

Mam wyznaczyć funkcje tworząca ciągu \(\displaystyle{ b_n=a_1+(n-1)\cdot r}\)
Chciałam to zrobic tak jak to robilam z ciagiem geometrycznym,jednak idac tym tokiem,znika mi przy \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ (-1)}\) i nie moge nic dalej zrobic.Czy jest jakis inny sposob na wyznaczenie takiej funkcji ?Prosze o wksazowki.

[Chromosom]

\(\displaystyle{ a_n=a_0+nr\\ \\ f(x)=\sum\limits^\infty_{n=0}a_nx^n\\ \\ f(x)=\sum\limits^\infty_{n=0}(a_0+nr)x^n\\ \\ f(x)=\sum\limits^\infty_{n=0}a_0x^n+r\left(\sum\limits^\infty_{n=0}(n+1)x^n-\sum\limits^\infty_{n=0}x^n\right)\\ \\ \sum\limits^\infty_{n=0}(n+1)x^n=\sum\limits^\infty_{n=0}\left(x^{n+1}\right)^\prime=\left(\sum\limits^\infty_{n=0}x^{n+1}\right)^\prime}\)

Dokończ samodzielnie.

[Barbara777]

Problem pojawia sie przy szukaniu sumy szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(n-1)x^n}\)

Ale mozemy wykorzystac znane rozwiniecie

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n}\)

zbiezny dla \(\displaystyle{ |x|<1}\)
Kiedy go zrozniczkuejsz wyraz za wyrazem, dostaniesz szereg \(\displaystyle{ \sum nx^{n-1}}\) i po malym przenumerowaniu otrzymasz szukany szereg.

[myszka9]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot x^{n-1}}\)


Jak go rozpisać na sumę ciągu geo?

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \ldots\,=\sum\limits^\infty_{n=1}\left(x^n\right)^\prime=\left(\sum\limits^\infty_{n=1}x^n\right)^\prime}\)

Następnie należy zastosować wzór na sumę \(\displaystyle{ n}\) wyrazów ciągu geometrycznego i obliczyć pochodną.

[myszka9]

A jak powrócić z powrotem , żeby suma była od \(\displaystyle{ n=0}\) ?

[Chromosom]

Nie ma takiej potrzeby - następnie należy zastosować wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.