wzor analityczny ciagu

[Majka99]

Mam za zadanie wyznaczyc wzor analityczny pozwalajacy obliczyć n-ty wyraz ciagu okreslonego rekurencyjnie :
\(\displaystyle{ a_0=2,a_1=5,a_n=5\cdot a_{n-1}+6\cdot a_{n-2}}\)
Po przekształceniach dochodzę do czegoś takiego :

\(\displaystyle{ F(x)=2+5x+5x\cdot (F(x)-F(0))-6x^2\cdot (F(x))}\)
\(\displaystyle{ F(X)=2+5x+5x\cdot F(x)-5x\cdot F(0)-6x^2\cdot F(x)}\)
\(\displaystyle{ F(X)=2+5x+5x\cdot F(x)-5x\cdot a_n-6x^2\cdot F(x)}\)
\(\displaystyle{ F(x)-5x\cdot F(x)+6x^2\cdot F(x)=2+5x-5x\cdot a_n}\)

\(\displaystyle{ F(x)=\frac{2+5x-5x\cdot a_n}{1-5x+6x^2}}\)

Po pierwsze nie wiem czy dobrze przeszlam z \(\displaystyle{ F(0)}\) na \(\displaystyle{ a_n}\)
Mam co do tego wątpliwości.Ale pomijajac to na cwiczeniach jak juz sobie tak to rozpisalismy,to cwiczeniowiec rozlozyl mianownik na ulamki proste po czym przyrownal wspolczynniki nie do tego co mamy w liczniku lecz tak jakby w tym liczniku wyszła nam \(\displaystyle{ 1}\).Dlaczego tak ?Czy licznik wtedy nie jest ważny ?

[Chromosom]

Nie rozumiem, skąd wzięło się \(\displaystyle{ a_n}\) oraz znak \(\displaystyle{ -}\) przed \(\displaystyle{ 6x^2f(x)}\). Poprawny początek rozwiązania:

\(\displaystyle{ f(x)=2+5x+\sum\limits^\infty_{n=2}\bigl(5a_{n-1}+6a_{n-2}\bigr)x^n\\ \\
f(x)=2+5x+5x\left(\sum\limits^\infty_{n=2}a_{n-1}x^{n-1}+a_0x^0-a_0x^0\right)+6x^2\sum\limits^\infty_{n=2}a_{n-2}x^{n-2}\\ \\
f(x)=2+5x+5x\left(\sum\limits^\infty_{n=1}a_{n-1}x^{n-1}-2\right)+6x^2f(x)\\ \\
f(x)=2+5x+5xf(x)-10x+6x^2f(x)}\)

Dokończ samodzielnie.

[Majka99]

Wychodzi mi ze \(\displaystyle{ F(x)=\frac{2-5x}{1-5x-6x^2}}\)
rozkladam teraz mianownik i przyrownuje wspolczynniki do tych z licznika ?
\(\displaystyle{ A+6B=-5}\)
\(\displaystyle{ -2A-18B=2}\) tak ?

[Chromosom]

Zgadza się.

[Majka99]

W kolejnym kroku rozwijam kazdy z moich ulamkow ze wzoru Maclaruina i to wszystko ?

[Chromosom]

kazdy z moich ulamkow

Ułamki te nie mogą być dowolnie wybrane - muszą być obliczone na podstawie funkcji tworzącej. Zgadza się, należy zastosować wzór Maclaurina.

[Majka99]

I to wszystko ?

[Chromosom]

Należy jeszcze zapisać wzór ogólny: \(\displaystyle{ a_n=\,\ldots}\)