funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Majka99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: zgierz
Podziękował: 15 razy

funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Post autor: Majka99 »

Mam wyznaczyć jak w temacie funkcje tworzaca ciagu geometrycznego \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_1\cdot q^n}\)Wyznaczylam sobie \(\displaystyle{ a_n=a1\cdot q^{n+1}}\).
\(\displaystyle{ F(X)=\sum_{n=0}^{ \infty } a_n\cdot x^n=\sum_{n=0}^{ \infty } a_1\cdot q^{n+1}\cdot x^n}\) I co dalej ?Moglby mi ktos wytlumaczyc czym to sie je ?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Post autor: yorgin »

Zdecyduj się, czy numerujesz od zera, czy od jedynki... Dla numeracji od zera:

\(\displaystyle{ a_n=a_0q^n}\)

\(\displaystyle{ F(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_0q^nx^n=\ldots}\)
Majka99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: zgierz
Podziękował: 15 razy

funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Post autor: Majka99 »

Numeruje od zera.co dalej ?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Post autor: yorgin »

\(\displaystyle{ a_0q^nx^n=a_0(qx)^n}\)

więc...
Majka99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: zgierz
Podziękował: 15 razy

funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Post autor: Majka99 »

moge to rozpisac dla pierwszych wyrazow ?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Post autor: yorgin »

Masz znaleźć funkcję tworzącą. Nie rozpisywać wyrazy, tylko znaleźć jawną postać funkcji \(\displaystyle{ F}\).
Majka99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: zgierz
Podziękował: 15 razy

funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Post autor: Majka99 »

no tak,robilam juz zadanie w ktorym mialam podany pierwszy i drugi wyraz i to rozpisywalam a tutaj jak zaczac ?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Post autor: yorgin »

Od tego, by zwinąć poniższy szereg:

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^\infty ax^n=?}\)
Majka99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: zgierz
Podziękował: 15 razy

funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Post autor: Majka99 »

Cos takiego ?:

\(\displaystyle{ F(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_0\cdot (qx)^n}\)
Dla n=0 mamy \(\displaystyle{ a_0}\)
Wiec \(\displaystyle{ F(x)=a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty a_0\cdot (qx)^n=a_0+\sum\limits_{n=0}^\infty a_0\cdot (qx)^{n+1}=a_0+qx\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty a_0\cdot (qx)^n}\)

\(\displaystyle{ F(X)=a_0+qx\cdot F(x)}\)

\(\displaystyle{ F(x)(1-qx)=a_0}\)

\(\displaystyle{ F(x)=\frac{a_0}{1-qx}}\)-- 31 maja 2013, o 21:47 --Jest to dobra odpowiedz czy nie ?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Post autor: yorgin »

Spodziewałem się innej odpowiedzi, ale zostałem bardzo pozytywnie zaskoczony.

Tak, to jest poprawne rozwiązanie
Majka99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: zgierz
Podziękował: 15 razy

funkcja tworzaca ciagu geometrycznego

Post autor: Majka99 »

Dzieki
ODPOWIEDZ