Silnia - zależność

[midek]

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n {i-1 \choose b-1} {N-i \choose n-b} = {N-1 \choose n-1}}\)

Z jakiej zależności to wynika?

Nie mogę znaleźć w internecie, liczę na to, że mi pomożecie.

---
A jeśli to jest błąd, jest to niemożliwe, to też proszę o komentarz.

[Hassgesang]

Skoro ma działać zawsze, to powinno także dla \(\displaystyle{ n = N = 1}\). Rozpiszmy sumę:

\(\displaystyle{ {0 \choose b-1} \cdot {0 \choose 1-b} = 0 \cdot 0 \neq 1 = {0 \choose 0}}\).

Chyba, że dopiszesz jakieś założenia, to co innego. Wydaje mi się, że wzoru nie da się jednak uratować, zobacz co się dzieje dla całkowitego \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ n = N}\).

[midek]

Rozumiem, dziękuję za odpowiedź.

A tak zachodzi?
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n {b-1 \choose i-1} {N-b \choose n-i} = {N-1 \choose n-1}}\)

Sprawdziłem, zachodzi

Tylko jaka jest zależność? Bo z głowy to bym nie pomyślał

[Hassgesang]

Po pierwsze, to nie musiałeś edytować posta, bo prawie wysłałem kontrprzykład do tożsamości, którą skasowałeś.
[EDIT2] Teraz prezentuję poprawny wzór:
\(\displaystyle{ \sum_k {l \choose m+k} \cdot {s \choose n-k} = {l+s \choose m+n}}\)
Jeżeli się nie mylę, to nazywa się to splotem Vandermonde'a lub tożsamością Cauchy'ego (znana już w 1303 w Chinach!)

nie do końca to, czego szukasz:    

Co powiesz na następującą tożsamość? Zakładam, że \(\displaystyle{ l \in \mathbb{N}}\), a \(\displaystyle{ m, n}\) są całkowite

\(\displaystyle{ \sum_k {l \choose m+k} \cdot {s \choose n+k} = {l+s \choose l-m+n}}\)

[EDIT] ten wzór i tak bezpośrednio nie pomoże, gdybyś zmienił \(\displaystyle{ n-k}\) na \(\displaystyle{ n+k}\) to dostalibyśmy \(\displaystyle{ {N-1 \choose n+b}}\)

[midek]

Nie wiedziałem, że przeczytałeś ten zmieniony post, ale jeszcze raz przesyłam.
\(\displaystyle{ E(i)=n{{K}\over{N}}{1\over{{N-1 \choose n-1}}}\sum^n_{i=1}{K-1 \choose i}{N-K \choose n-1-i}=n {{K}\over{N}}{1\over{{N-1 \choose n-1}}}{N-1 \choose n-1}=n {{K}\over{N}}\;}\)

Znam tą tożsamość Cauchy'ego, tylko ona nic nie mówi, dlaczego w powyższym obliczeniu mamy \(\displaystyle{ {N-1 \choose n-1}}\).
---
A te obliczenia wzięte z internetu.

[Hassgesang]

Mówi ona obrazowo tyle, co: jeżeli sumujesz stosowne iloczyny, to wynikiem jest symbol Newtona. Górny indeks jest sumą górnych indeksów (czynników), dolny indeks - sumą dolnych. \(\displaystyle{ N-b+b-1 = N-1}\), \(\displaystyle{ n-i+i-1=n-1}\).

No i uzasadnienie dlaczego to działa: jeżeli \(\displaystyle{ i=k+1 \Rightarrow k = i-1}\), to \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n {b-1 \choose i-1} {N-b \choose n-i} = \sum_{k=0}^{n-1} {b-1 \choose k} {N-b \choose n-k-1} = \cdots}\) (bo w końcu splot działa tylko, gdy sumujemy od zera)

[midek]

To tak można? Nie wiedziałem, pierwszy raz o tym słyszę. Nawet nie pisze w wikipedii, że tak można.

EDIT:
Właśnie miałem napisać, że brakuje \(\displaystyle{ n-1}\), ale poprawiłeś

Dziękuję bardzo za wyjaśnienie.