Wzór ogólny równania rekurencyjnego -- funkcja tworząca

[Tybias]

Wydawało mi się, że robię już tego typu zadania bez większych problemów, jednak znowu się natknąłem i nie wiem gdzie jest błąd. Jakbyście mogli spojrzeć:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=3a_{n}+2,\\a_{0}=1}\)

Po przekształceniach otrzymuje postać:

\(\displaystyle{ A(x) = \frac{1+x}{(1-x)(1-3x)}\\\ \Rightarrow A(x)=\frac{2}{1-3x}-\frac{1}{1-x}}\)
No i teraz zwijając tą postać do szeregów otrzymuje \(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty}2 \cdot 3^{n}x^{n}\-\ \sum_{n=0}^{\infty}x^{n} = \sum(2 \cdot 3^{n}-1)x^{n}}\)

Więc wzór ogólny z tego to \(\displaystyle{ a_{n}=2 \cdot 3^{n}-1}\) co niestety nie zgadza się z rekurencją.

[yorgin]

Wszystko się zgadza. Wynik jest poprawny, mylisz się przy sprawdzaniu rekurencji.

\(\displaystyle{ 3\cdot (2\cdot 3^n-1)+2=2\cdot 3^{n+1}-3+2=2\cdot 3^{n+1}-1}\)