Równanie rekurencyjne, rodzaj równania. Matematyka Dyskretna

[tygryseks]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.
Rozwiązać następujące równania stosując odpowiednie wzory:

\(\displaystyle{ 2x _{n} = -x_{n-1} + 6 ; n \in N, x_{0}=2}\)


Generalnie zadanko może nie jest trudne ale mam problem jakie wzory zastosować, tzn. kiedy wzór na rekurencję liniową rz I o stałych współczynnikach a kiedy o zmiennych? Jak to poznać?
Jak będzie w tym przypadku?

[yorgin]

A czy w tym równaniu współczynniki są stałe czy zależne od \(\displaystyle{ n}\)? Tak ciężko jest to wydedukować?

[tygryseks]

Jak się wie to może i nie ciężko
Mi wydaje się że współczynniki tutaj są stałe. Jednak znalazłem gdzieś rozwiązanie tego zadania z wzoru na równanie o zmiennych współczynnikach.
Dlatego pytam tutaj jak to z tym jest.

Liczyłem na trochę bardziej wyczerpującą odpowiedź.

[yorgin]

To jest liniowa rekurencja niejednorodna pierwszego rzędu o stałych współczynnikach.

Dla rekurencji

\(\displaystyle{ x_{n}=bx_{n-1}+c, x_0=a}\)

jest gotowy wzór na rozwiązanie

\(\displaystyle{ x_n=ab^n+c\cdot\frac{b^n-1}{b-1}}\)

Rozpoznawanie, czy współczynniki są stałe, czy nie, to mniej więcej jak próba odpowiedzi na pytanie, czy funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x+e^{12!}}\) lub \(\displaystyle{ g(x)=-365^\pi}\) jest stała bądź nie.

[tygryseks]

Dzięki, czyli jest tak jak przypuszczałem.
Domyślam się się chodzi tu o współczynnik c i jeśli jest 6 - to stały, a jeśli było by 6n to już zmienny tak?

Co do podanego przez Ciebie wzoru, to gdy użyję go do \(\displaystyle{ T_n=2T_{n-1} + 1}\) to wychodzi mi \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1}\) a profesorowi z innego wzoru na zajęciach wyszło \(\displaystyle{ 2^n -1}\)

[yorgin]

A jaki jest warunek początkowy? Wróżką nie jestem.

[tygryseks]

\(\displaystyle{ T_0 = 0}\)
Czyli podany przez Ciebie wzór nie pójdzie w tym przypdku bo \(\displaystyle{ T_0 \neq a}\) ?

[yorgin]

Mój wzór działa dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b, c}\) i zgodnie z moim wzorem

\(\displaystyle{ T_{n}=2^{n}-1}\) czyli tyle, co profesorowi wyszło. Nie wiem, jakiego wzoru używał, mój jest w każdym razie łatwy do indukcyjnego udowodnienia.

[tygryseks]

W tym przykładzie \(\displaystyle{ T_n=2T_{n-1} + 1}\) wyjdzie \(\displaystyle{ 2^{n}-1}\)
jeśli było by a=0, a mi wydaje się, że a=1, b=2, c=1.
Gdzie w Twoim wzorze używa się warunku początkowego?

[yorgin]

\(\displaystyle{ x_{n}=bx_{n-1}+c, x_0=a}\)

\(\displaystyle{ x_n=ab^n+c\cdot\frac{b^n-1}{b-1}}\)

\(\displaystyle{ a}\) to warunek początkowy. Dla \(\displaystyle{ T_n=2^n-1}\) zachodzi \(\displaystyle{ T_0=2^0-1=1-1=0}\) czyli zgadza się.

[tygryseks]

Napiszę jak rozwiązuję ten przypadek podstawiając do Twojego wzoru a Ty mi powiesz gdzie robię błąd.

\(\displaystyle{ T_n=2T_{n-1} + 1}\) ; \(\displaystyle{ a=1, b=2, c=1}\)
\(\displaystyle{ x_n=1*2^n + 1*\frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n + \frac{2^n - 1}{1} = 2^n + 2^n - 1 = 2^{n+1} - 1}\)

Wiem, że gdzieś źle podstawiam do wzoru ale nie wiem dokładnie gdzie, no i w moim obliczeniu nie używam warunku początkowego co też jest domyślam się że błędne.
Czy a powinno równać się T0?

[yorgin]

A dlaczego twierdzisz, że \(\displaystyle{ a=1}\), skoro napisałem wcześniej, że \(\displaystyle{ a=T_0=0}\)? Właśnie na tym polegał Twój błąd w rachunkach.

[tygryseks]

Ok, czyli Twój wzór można przedstawić tak:

\(\displaystyle{ x_n=x_0 b^n+c\cdot\frac{b^n-1}{b-1}}\)

-- 23 maja 2013, o 14:00 --

Sprawdzam jak to wychodzi dla \(\displaystyle{ 2x_n=-x_{n-1} + 6, x_0=2}\)



\(\displaystyle{ a=2, b= -1, c=6}\)
\(\displaystyle{ x_n=2*(-1)^n + 6\frac{(-1)^n-1}{-2} = 2*(-1)^n - 3 * (-1)^n + 3 = -(1)^n + 3 = 3 - (-1)^n}\) powinno to być dobrze
i teraz pytanie czy to jest \(\displaystyle{ x_n}\) czy \(\displaystyle{ 2x_n}\) jeśli \(\displaystyle{ 2x_n}\) to dzieląc stronami przez 2 da mi: \(\displaystyle{ \frac{3}{2} - \frac{(-1)^n}{2}}\)

Próbuję sposobem profesora:
\(\displaystyle{ a=-1, b=6}\)
\(\displaystyle{ x^* = \frac{b}{1-a}= \frac{6}{2}=3}\)
\(\displaystyle{ x_n=x^* + (x_0 - x^*)a^n}\)
\(\displaystyle{ 2x_n= 3+ (2-3) (-1)^n = 3 + (-1) * (-1)^n = 3 - (-1)^n}\) -Nie jestem pewien co powinno być z tą 2 przy \(\displaystyle{ x_n}\)
Jeśli podzielę stronami przez 2 to wyjdzie mi \(\displaystyle{ \frac{3}{2} - \frac{(-1)^n}{2}}\)

Wyniki wyszły takie same więc jak by ok.

-- 23 maja 2013, o 19:24 --

Znalazłem i poprawiłem błędy w obliczeniach.
Proszę niech ktoś zerknie i powie co o tym myśli, czy ten przykład jest zrobiony dobrze i co z tą dwójką przy xn?

[tygryseks]

Wiem już co i jak.
Najpierw należy się pozbyć "2" przy "xn" a potem obliczać z wyżej podanych wzorów.

[yorgin]

Cieszę się, że wszystko jasne.

Pisanie postów pod istniejącymi jest doklejeniem do poprzedniego, chyba, że minęło dostatecznie dużo czasu. Dlatego edytowanie i pisanie postów jeden pod drugim nie jest wskazane.