Muszę udowodnić, że kwadraty liczb w poszczególnych wierszach w trójkącie Pascala, są równe kolejnym środkowym wyrazom ów trójkąta.
Mianowicie:
\(\displaystyle{ 1 ^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{2}+1 ^{2}=2}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{2}+2 ^{2}+1 ^{2}=6}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{2}+3 ^{2}+3 ^{2}+1 ^{2}=20}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{2}+4 ^{2}+6 ^{2}+4 ^{2}+1 ^{2}=70}\) itd
przedstawiając każdą z liczb w formie symbolu newtona doszłam do wniosku, że:
\(\displaystyle{ {n \choose 0} ^{2} + {n \choose n-(n-1)} ^{2} + {n \choose n-(n-2)} ^{2} + ... + {n \choose (n-1)} ^{2} + {n \choose n} ^{2} = {n+n \choose n}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-k} {n \choose k} ^{2 } = {2n \choose n}}\)
Pytanie teraz - jak udowodnić, że jest to prawdziwe dla każdej z liczb ?
Próbowałam z indukcji matematycznej, ale nie bardzo mi to wychodzi.
dowód - trójkąt pascala, szereg, symbol newtona
- kristoffwp
- Użytkownik
- Posty: 688
- Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko - Biała
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 88 razy
dowód - trójkąt pascala, szereg, symbol newtona
Napisz raz jeszcze co masz zrobić, bo ja nie rozumiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 25 gru 2009, o 13:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Częstochowa
- Podziękował: 20 razy
dowód - trójkąt pascala, szereg, symbol newtona
czego nie rozumiesz?
trójkąt Pascala jak wygląda każdy wie.
w każdym jego wierszu są jakieś liczby. liczby te po podniesieniu do kwadratu i zsumowaniu, mają dać środkową liczbę z wiersza znajdującego się poniżej.
Dałam nawet przykład na tych sumach kwadratów. Wystarczy spojrzeć na trójkąt Pascala i widać co z czym jest połączone.
Poza tym wzór jest na pewno dobry - nie umiem go tylko udowodnić.
trójkąt Pascala jak wygląda każdy wie.
w każdym jego wierszu są jakieś liczby. liczby te po podniesieniu do kwadratu i zsumowaniu, mają dać środkową liczbę z wiersza znajdującego się poniżej.
Dałam nawet przykład na tych sumach kwadratów. Wystarczy spojrzeć na trójkąt Pascala i widać co z czym jest połączone.
Poza tym wzór jest na pewno dobry - nie umiem go tylko udowodnić.
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 25 gru 2009, o 13:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Częstochowa
- Podziękował: 20 razy
dowód - trójkąt pascala, szereg, symbol newtona
czyli mam rozumieć, że nie da się tego udowodnić przez indukcję?