dowód - trójkąt pascala, szereg, symbol newtona

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
agus221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 25 gru 2009, o 13:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 20 razy

dowód - trójkąt pascala, szereg, symbol newtona

Post autor: agus221 »

Muszę udowodnić, że kwadraty liczb w poszczególnych wierszach w trójkącie Pascala, są równe kolejnym środkowym wyrazom ów trójkąta.
Mianowicie:
\(\displaystyle{ 1 ^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{2}+1 ^{2}=2}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{2}+2 ^{2}+1 ^{2}=6}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{2}+3 ^{2}+3 ^{2}+1 ^{2}=20}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{2}+4 ^{2}+6 ^{2}+4 ^{2}+1 ^{2}=70}\) itd

przedstawiając każdą z liczb w formie symbolu newtona doszłam do wniosku, że:

\(\displaystyle{ {n \choose 0} ^{2} + {n \choose n-(n-1)} ^{2} + {n \choose n-(n-2)} ^{2} + ... + {n \choose (n-1)} ^{2} + {n \choose n} ^{2} = {n+n \choose n}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-k} {n \choose k} ^{2 } = {2n \choose n}}\)

Pytanie teraz - jak udowodnić, że jest to prawdziwe dla każdej z liczb ?
Próbowałam z indukcji matematycznej, ale nie bardzo mi to wychodzi.
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

dowód - trójkąt pascala, szereg, symbol newtona

Post autor: kristoffwp »

Napisz raz jeszcze co masz zrobić, bo ja nie rozumiem.
agus221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 25 gru 2009, o 13:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 20 razy

dowód - trójkąt pascala, szereg, symbol newtona

Post autor: agus221 »

czego nie rozumiesz?
trójkąt Pascala jak wygląda każdy wie.
w każdym jego wierszu są jakieś liczby. liczby te po podniesieniu do kwadratu i zsumowaniu, mają dać środkową liczbę z wiersza znajdującego się poniżej.

Dałam nawet przykład na tych sumach kwadratów. Wystarczy spojrzeć na trójkąt Pascala i widać co z czym jest połączone.
Poza tym wzór jest na pewno dobry - nie umiem go tylko udowodnić.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

dowód - trójkąt pascala, szereg, symbol newtona

Post autor: yorgin »

Dwa różne rozwiązania masz tutaj
agus221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 25 gru 2009, o 13:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 20 razy

dowód - trójkąt pascala, szereg, symbol newtona

Post autor: agus221 »

czyli mam rozumieć, że nie da się tego udowodnić przez indukcję?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

dowód - trójkąt pascala, szereg, symbol newtona

Post autor: yorgin »

Nie chce mi się przepisywać, więc odsyłam

P.S. Dowód przez indukcję jest niebanalny.
ODPOWIEDZ