Podziały liczb, bazy wielomianów

[Stonek007]

Cześć, próbuje uporać się z tymi zadaniami. W zasadzie to nie wiem jak się do nich zabrać ani z jakich materiałów skorzystać.

1. Oblicz \(\displaystyle{ \Delta p(x)}\) używając wzoru na zmianę bazy wielomianów, \(\displaystyle{ p(x) = 4x^{3} - 3x^{2} + 2x - 1}\)

2. Udowodnij, że wśród 5 dowolnych liczb całkowitych znajdują się takie dwie, których różnica jest podzielna przez 4.

3. Na ile sposobów można podzielić n-elementową populację na k części zawierających odpowiednio \(\displaystyle{ r _{1}, r _{2},..., r _{k}}\) elementów, \(\displaystyle{ r _{1} + r _{2} + ... + r _{k} = n}\)

4. Ile jest liczb naturalnych n \(\displaystyle{ \epsilon}\) [1, 1000] podzielnych przez 5, lub przez 7, lub przez 9.

[brzoskwinka1]

2. Jeżeli mamy pięć liczb \(\displaystyle{ a_1, a_2 , a_3, a_4 , a_5}\) to co najmniej dwie z nich \(\displaystyle{ a_i , a_j}\) dają taką samą resztę z dzielenia przez cztery więc ich różnica \(\displaystyle{ a_i -a_j}\) dzieli się przez cztery.
3.\(\displaystyle{ {n\choose r_1 ,r_2 ,..., r_k } =\frac{n!}{r_1 ! \cdot r_2 ! \cdot ...\cdot r_k ! }}\)


4. Zastosuj wzór \(\displaystyle{ \overline{\overline{A\cup B\cup C}} =\overline{\overline{A}} +\overline{\overline{B}} +\overline{\overline{ C}} -\overline{\overline{A\cap B}} -\overline{\overline{ B\cap C}} -\overline{\overline{A\cap C}} +\overline{\overline{A\cap B\cap C}} .}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ A=\{\xi :1\le \xi \le 1000 \wedge 5|\xi \}}\)
\(\displaystyle{ B=\{\xi :1\le \xi \le 1000 \wedge 7|\xi \}}\)
\(\displaystyle{ C=\{\xi :1\le \xi \le 1000 \wedge 9|\xi \}.}\)