Liczba pokolorowań kwadratu

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
placky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 30 paź 2012, o 00:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 2 razy

Liczba pokolorowań kwadratu

Post autor: placky »

Witam.
Ile jest istotnie różnych pokolorowań kwadratu 3 × 3, przy których jest 7 pół czarnych i dwa białe? Narysuj wszystkie takie pokolorowania i sprawdź wynik korzystając z lematu Burnside’a.
Mam pewne wątpliwości odnośnie tego zadania. Które kolorowania są w tym przypadku istotnie różne? Powinienem sobie wybrać kryterium obrotów lub symetrii (lub obu) i z niego wyniknie szukana liczba pokolorowań? (dla symetrii i obrotów wyrysowałem łącznie 9 takich pokolorowań, ale możliwe, że mogłem jakieś pominąć)

Dalej, jak zabrać się za liczenie liczby pokolorowań dla danego przekształcenia g, np. dla symetrii poziomej? Standardowe obliczanie mam opanowane, ale blokują mnie postawione warunki dwóch pól białych i siedmiu czarnych. Jedyne co mi przychodzi do głowy to wyodrębnienie przypadków rozłącznych (alternatyw), czyli (dla symetrii poziomej/pionowej): 2+2+2 (trzy pary względem osi symetrii) +3 (permutacja dwóch pól czarnych i jednego białego na osi symetrii). Pokrywałoby się to nawet z wyrysowanymi pokolorowaniami dla osi symetrii 36/4=9. Nie jestem tego jednak pewien.

Proszę o pomoc.
ODPOWIEDZ