rozmieszczanie kul

[matinf]

Pięć ponumerowanych kul rozmieszczamy losowo w 5 pudełkach. Jakie jest prawdopodobieństwo że dokładnie dwa pudełka będą puste?

Mam jakiś taki sposób, ale nie wiem dlaczego nie jest on poprawny.

Wybieram trzy kule - są one jakby przyporządkowane już:
\(\displaystyle{ {5 \choose 3 }= 10}\)
Mnożę, razy 3 silnia:
\(\displaystyle{ {5 \choose 3} \cdot 3!}\)
I dodaję dwie byle gdzie:
\(\displaystyle{ {3 \cdot 3}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ {5 \choose 3} \cdot 3! \cdot 3\cdot 3}\)
Ale to nie jest dobrze, dlaczego ?

[Kacper20]

jakaś przestrzeń zdarzeń może?
Proponuję dwa modele:
Najpierw wybierasz które pudełka będą puste lub zajęte.
Następnie umieszczasz kule w 3 pudełkach które Ci zostały i odejmujesz wszystkie możliwości, w których kule pójdą tylko do jednego, do dwóch. Czyli - każde musi być zajęte.
Lub:
Wybierasz pojemniki zapełnione, następnie masz możliwości:
w jednym z nich będą 3 kule, w pozostałych po jednej
w dwóch z nich będą po dwie kule.

Spróbuj to jakoś zapisać. Polecam sposób pierwszy.
Najpierw - zacznij od przestrzeni zdarzeń elementarnych.

[pyzol]

Pierwsza sprawa, w które pudełka wrzucasz?
Ale potem też jest źle bo powtarzasz schemat. Np. Najpierw kule 1,2,3 do odpowiednio pudełek 1,2,3. Potem dwie kule do pudełka 1 liczysz 3 razy. Bo to to samo, co najpierw kule 4,2,3 do pudełek 1,2,3, potem dwie pozostałe do pudełka 1.

Jeśli chodzi o pierwszy Kacpra, to wzór włączeń i wyłączeń.

[matinf]

Ok. W takim razie czy może ktoś mój pomysł poprawić ?

[pyzol]

Wybieramy 3 pudełka. Każdej kuli przypiszemy nr pudełka. Wszystkich możliwości jest:
\(\displaystyle{ \binom{5}{3}3^5}\)
Jednak jest ich zbyt duźo gdyż znajdują się możliwości, gdzie ku;e wylądowały w dwóch pudełkach. Ze wzoru włączeń i wyłączeń to leci tak:
\(\displaystyle{ \binom{5}{3}3^5-\binom{5}{2}2^5+\binom{5}{1}1^5-1}\)