Znajdź wyraz ogólny ciągu-całkowanie/różniczkowanie szeregów

[jcakov]

Witam, mam problem z zadaniem. Jako że listy zadań mają niewiele wspólnego z wykładem, ćwiczeniowiec też jest beznadziejny a z szeregów na analizie miałem dopiero jeden wykład prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania. Muszę zobaczyć chociaż jeden rozwiązany przykład żeby załapać o co chodzi, bo czysta teoria niewiele mi mówi.

Stosując twierdzenie o całkowaniu i różniczkowaniu szeregu potęgowego znajdź wyraz ogólny ciągu którego funkcją tworzącą jest:
a) \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^{2}}}\)
b) \(\displaystyle{ \ln (1+x)}\)

Umiem znaleźć wyraz ogólny(np. dla \(\displaystyle{ f(x)=x \cdot e^{x}}\)) ale nie mam pojęcia jak prawidłowo zastosować twierdzenie o różniczkowaniu/całkowaniu szeregów(jak pisałem, dopiero zaczęliśmy szeregi na analizie, paranoja).

[miodzio1988]

Policz z pierwszego całkę, a z drugiego pochodną, wyjdą znane Ci twory

[jcakov]

Policz z pierwszego całkę, a z drugiego pochodną, wyjdą znane Ci twory

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{(1-x)^{2}} =- \frac {1} {1-x} + C}\)
\(\displaystyle{ [\ln (1+x)]` = \frac{1}{1+x}}\)

Wychodzą twory które łatwo przekształcę w szereg, a z niego wyciągnę wyraz ogólny ciągu ale przecież zróżniczkowałem i scałkowałem funkcję tworzące. Więc przykładowo
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x} = \sum_{0}^{ \infty } (-1)^{n} \cdot x^{n} \rightarrow f_{n} = (-1)^{n}}\) da wyraz ogólny \(\displaystyle{ f_{n}}\) dla funkcji zróżniczkowanej, a nie wyjściowej... Jak to się ma do siebie?

[Msciwoj]

Polecono Ci zastosować twierdzenie o całkowaniu i różniczkowaniu szeregu potęgowego. Jak ono brzmi?

[jcakov]

Wewnątrz przedziału zbieżności suma szeregu potęgowego jest nie tylko ciągła, ale także różniczkowalna oraz pochodna sumy szeregu jest sumą szeregu pochodnych wyrazów szeregu wyjściowego.

Czyli w moim przypadku:

\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^{n} \cdot x^n}\)

Pochodna sumy jest sumą szeregu pochodnych, czyli... \(\displaystyle{ (-1)^{n} \cdot x^{n}}\) jest pochodną tego co mam pod sumą? I po scałkowaniu tego wyrażenia otrzymam to co by było pod sumą w szeregu wyjściowym? \(\displaystyle{ \int_{}^{} (-1)^{n} \cdot x^{n} \mbox{d}x = (-1)^{n} \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}}\) i mój wyjściowy szereg wygląda tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^{n} \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} \rightarrow f_{n} = \begin{cases} 0, n=0 \\ \frac{(-1)^{n}}{n+1}, n \ge 1 \end{cases}}\)

Dobrze?

EDIT: Wolfram Alpha pokazuje że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^{n} \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}=\log(x+1)}\) więc chyba jest ok.

[Msciwoj]

Nie chyba, tylko na pewno - wyszło ci to samo.

Pomijając jeden drobny błąd... Dla \(\displaystyle{ n=0}\) wcale współczynnik nie wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Całkujemy normalnie.