Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Samlor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 203
Rejestracja: 27 kwie 2013, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1 raz

Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Post autor: Samlor »

Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ Z=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}\) wybieramy losowo jednocześnie cztery liczby. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że najmniejszą wylosowaną liczbą
będzie \(\displaystyle{ 3}\) lub największą wylosowaną liczbą będzie \(\displaystyle{ 7}\).

\(\displaystyle{ A}\)- wylosowanie 4 liczb, z których najmniejszą jest 3 lub największą jest 7.

\(\displaystyle{ \Omega}\)- zbiór wszystkich 4-elementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ Z}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= {8\choose 4}= 70}\)

Wylosowanie 4 liczb, z których 3 jest najmniejsza, czyli to będzie kombinacja 3 z 5.
Wylosowanie 4 liczb, z których 7 jest największa, czyli kombinacja 3 z 6.

\(\displaystyle{ \overline{\overline{ A}}= {5 \choose 3}+ {6 \choose 3} =30}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{3}{7}}\)

Proszę o sprawdzenie.
Kacper20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 344
Rejestracja: 14 lut 2013, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nisko
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 52 razy

Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Post autor: Kacper20 »

Błąd. Za duży wynik. Zastanów się o co chodzi.
Samlor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 203
Rejestracja: 27 kwie 2013, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1 raz

Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Post autor: Samlor »

Kacper20 pisze:Błąd. Za duży wynik. Zastanów się o co chodzi.
Może jakaś podpowiedź ?

Bo mi wynik nie wydaje się za duży.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Post autor: yorgin »

Samlor pisze:
Wylosowanie 4 liczb, z których 3 jest najmniejsza, czyli to będzie kombinacja 3 z 5.
Wylosowanie 4 liczb, z których 7 jest największa, czyli kombinacja 3 z 6.
Liczysz dwa razy na przykład taki zestaw cyfr: \(\displaystyle{ 3,4,5,7}\)
Samlor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 203
Rejestracja: 27 kwie 2013, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1 raz

Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Post autor: Samlor »

yorgin pisze: Liczysz dwa razy na przykład taki zestaw cyfr: \(\displaystyle{ 3,4,5,7}\)
Ale to wynik będzie jeszcze większy
Ostatnio zmieniony 29 kwie 2013, o 17:53 przez Samlor, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Post autor: yorgin »

Mniejszy, gdyż w swoim rozumowaniu liczysz dwa razy te same zestawy liczb. Zastanów się jakie to są zestawy liczb.
Kacper20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 344
Rejestracja: 14 lut 2013, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nisko
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 52 razy

Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Post autor: Kacper20 »

\(\displaystyle{ P\left( A \cup B\right)=P\left( A\right)+P\left( B\right)-P\left( A \cap B\right)}\)
Samlor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 203
Rejestracja: 27 kwie 2013, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1 raz

Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Post autor: Samlor »

Kacper20 pisze:\(\displaystyle{ P\left( A \cup B\right)=P\left( A\right)+P\left( B\right)-P\left( A \cap B\right)}\)

\(\displaystyle{ A \cap B= {3 \choose 2 } = 3}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{3}{70}}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{7}}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{2}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B) = \frac{3}{7}- \frac{3}{70} = \frac{27}{70}}\)
Ostatnio zmieniony 29 kwie 2013, o 18:19 przez Samlor, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Post autor: yorgin »

Samlor pisze: \(\displaystyle{ P(A \cup B) = \frac{3}{7}- \frac{3}{70} = \frac{29}{70}}\)
Coś kiepsko z odejmowaniem
Samlor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 203
Rejestracja: 27 kwie 2013, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1 raz

Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Post autor: Samlor »

Poprawiłem

Czyli są to liczby 3457, 3567, 3467. I tu mam pytanie, bo w rzeczywistości ich jest \(\displaystyle{ 24\cdot 3= 72}\)

A w tym zadaniu powinienem korzystać z wariacji bez powtórzeń zamiast kombinacji, tak mi się wydaje teraz.
Ostatnio zmieniony 29 kwie 2013, o 18:25 przez Samlor, łącznie zmieniany 4 razy.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Jednoczesne losowanie 4 liczb ze zbioru

Post autor: yorgin »

Teraz jest wszystko ok.
ODPOWIEDZ