Policz funkcje tworzącą ciągu

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
ivenius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 11 paź 2012, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Policz funkcje tworzącą ciągu

Post autor: ivenius »

Korzystając z równości:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ...}\)

Oblicz funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = 2^{n}}\)

No więc wychodzę z podstawienia do wzoru:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } 2^{n} x^{n} = 1 + 2x + 4 x^{2} + ...}\)

z pierwszej równości w tym poście wiem, że:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n} = \frac{1}{1 - x}}\)

oraz:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } 2 x^{n} = \frac{2}{1 - x}}\)

jak dalej to zrobić?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Policz funkcje tworzącą ciągu

Post autor: »

Zastąp w pierwszej równości \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ 2x}\).

Q.
ivenius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 11 paź 2012, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Policz funkcje tworzącą ciągu

Post autor: ivenius »

Tak też jest w rozwiązaniu, tylko dlaczego tak, bo nie widzę jak tu zrobić takie przejście.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Policz funkcje tworzącą ciągu

Post autor: »

Ale jakie przejście? Przecież to czysto mechaniczna sprawa.

Jeśli w słowie \(\displaystyle{ PANAMA}\) chcemy zastąpić każde \(\displaystyle{ A}\) przez \(\displaystyle{ 2A}\), to otrzymamy \(\displaystyle{ P2AN2AM2A}\).

A jeśli w napisie \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \ldots}\) chcemy zastąpić każde \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ 2x}\), to co otrzymamy?

Q.
ivenius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 11 paź 2012, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Policz funkcje tworzącą ciągu

Post autor: ivenius »

Chodziło mi raczej o to, dlaczego pod x podstawiamy 2x?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Policz funkcje tworzącą ciągu

Post autor: »

Jak to zrobisz, to sam zauważysz dlaczego.

Q.
ODPOWIEDZ