Kombinatoryka a prawdopodobieństwo

[denatlu]

Pięć ponumerowanych kul rozmieszczamy losowo w 5 pudełkach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa pudełka będą puste?

[miodzio1988]

wszystkie mozliwosci najpierw. Ile jest ?

[denatlu]

Wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ W^5_5=5^5}\), bo mogę na tyle sposobów włożyć te piłeczki.

Dwa mają być puste. To nie wiem z czego skorzystać.

[mat_61]

Wybieramy dwa pudełka z pięciu i rozmieszczamy kule w trzech pozostałych pudełkach. Pamiętaj, żeby uwzględnić to, że żadne z tych trzech pozostałych pudełek nie może być puste.

[denatlu]

To mogę wybrać te dwa pudełka, na \(\displaystyle{ C^2_5=10}\) sposobów.

I tutaj nie wiem, jak sobie odpowiedzieć. Mam stworzyć jaki ciąg? Pięcio, czy trzyelementowy czy jak do tego podejść?

[mat_61]

Teraz masz rozmieścić pięć kul w pozostałych trzech pudełkach w taki sposób aby żadne z nich nie było puste.

[denatlu]

powiedz najpierw, czy da się to zapisać z definicji wariacji bez powtórzeń albo kombinacji. Z permutacji i wariacji bez powtórzeń na pewno nie.

To ważne, bo nie wiem, czy w tych zadaniach da się to rozwalać od ręki, czy trzeba pojedyńczo.

[mat_61]

1. Rozmieszczenie pięciu ponumerowanych kul w trzech pudełkach liczysz jako wariacje z powtórzeniami (dokładnie tak jak liczyłeś rozmieszczenie pięciu kul w pięciu pudełkach)

2. Pamiętaj jednak, że przy takim rozmieszczaniu kul są także takie rozmieszczenia, że jedno albo dwa pudełka (spośród tych trzech) są puste.

3. Od ilości wariantów wyliczonej wg punktu 1) musisz więc odjąć ilość wariantów wyliczonych wg punktu 2)

Uwaga:
Oczywiście jest to rozwiązanie przy takiej interpretacji, że pudełka są rozróżnialne (tak założyłem, bo tak liczyłeś ilość wszystkich możliwości)