Postać zwarta sum.

[Stonek007]

Mam problem z rozwiązaniem dwóch poniższych przykładów. Próbowałem metodą przez zaburzanie ale nic z tego. Bardzo bym prosił aby po kolei ktoś pokazał jak dojść do postaci zwartej czy też przy użyciu innej metody.

1. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{k(k+1)}}\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k(k-1)(k-2)}\)

[Qń]

Można użyć rachunku różnicowego:
258511.htm

Q.

[Stonek007]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k(k-1)(k-2) = \sum_{0}^{n+1} k^{\underline{3}} = \frac{k^{\underline{4}}}{4} |_0^{n+1} = \frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{4} |_0^{n+1} =\\ = \frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{4} - 0 = \frac{n(n+1)(n-1)(n-2)}{4}}\)

dobrze, ?

[Qń]

Wszystko się zgadza.

Poprawność wyniku można sprawdzić porównując otrzymany wzór z wyjściową sumą dla małych \(\displaystyle{ n}\) (to druga z "praktycznych rad" w linkowanym wątku).

Q.