Znajdź wzór na sumę \(\displaystyle{ 1^{2} +2 ^{2} ...+n ^{2} .}\)
Wskazówka.dwoma sposobami obliczyć sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} ((k+1) ^{3} -k ^{3}}\).
Niestety ta wskazówka za duzo mi nie dała .rozbiłem to ze wzorów skroconego mnożenia ale nie wiem co dlalej.Prosze o pomoc
Zanajdz wzor na sumę
-
mikolajjgn
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 16 paź 2011, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gostyń
- Podziękował: 9 razy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Zanajdz wzor na sumę
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} ((k+1) ^{3} -k ^{3})= (2^3-1^3) + (3^3- 2^3) + \ldots + ((n+1)^3-n^3) = (n+1)^3-1}\)
a z drugiej strony:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} ((k+1) ^{3} -k ^{3}) = 3\sum_{k=1}^{n}k^2 +3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1}\)
Wystarczy zatem policzyć dwie ostatnie sumy po prawej stronie i porównać wyniki w obu metodach - wtedy łatwo wyznaczyć sumę kwadratów.
Q.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} ((k+1) ^{3} -k ^{3})= (2^3-1^3) + (3^3- 2^3) + \ldots + ((n+1)^3-n^3) = (n+1)^3-1}\)
a z drugiej strony:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} ((k+1) ^{3} -k ^{3}) = 3\sum_{k=1}^{n}k^2 +3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1}\)
Wystarczy zatem policzyć dwie ostatnie sumy po prawej stronie i porównać wyniki w obu metodach - wtedy łatwo wyznaczyć sumę kwadratów.
Q.