Rozwiązanie ogólne i szczególne równania rekurencyjnego.

[Aegon]

Witam,

Mam problemik związany z równaniem rekurencyjnym, lecz jest on nieco nietypowy. Chodzi mi konkretnie o zapis poszczególnych typów rozwiązań: ogólnego i szczególnego.

Powiedzmy, że mam takie równanie:

\(\displaystyle{ a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_{n}}\)

Rozwiązuję je taką metodą:

\(\displaystyle{ r^2=r+3}\)

I po dalszych obliczeniach otrzymuję taki wynik:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{4} (-1)^n+\frac{3}{4}3^n}\)

A schematycznie:

\(\displaystyle{ a_{n}= A (r_{1})^n+B(r_{2})^n}\)

Czy jest to rozwiązanie ogólne? Jeżeli tak to jak wyglądałoby rozwiązanie szczególne?

Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam!

[yorgin]

Rozwiązuję je taką metodą:

\(\displaystyle{ r^2=r+3}\)

Zła postać równania charakterystycznego.

I po dalszych obliczeniach otrzymuję taki wynik:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{4} (-1)^n+\frac{3}{4}3^n}\)

No bez warunków początkowych ciężko ocenić, czy to jest poprawnie.

Czy jest to rozwiązanie ogólne? Jeżeli tak to jak wyglądałoby rozwiązanie szczególne?

To jest rozwiązanie. Rozwiązanie szczególne to dowolne rozwiązanie równania rekurencyjnego niejednorodnego. Rozwiązanie ogólne to

\(\displaystyle{ a_{n}= A (r_{1})^n+B(r_{2})^n}\)

i zwykle mówi się o nim w przypadku równań jednorodnych.

[Aegon]

Dzięki za odpowiedź.

Hmm, dokładnie taką postać równania charakterystycznego mieliśmy na ćwiczeniach..

Warunki początkowe to \(\displaystyle{ a_{0}=1, a_{1}=2}\)

Tak więc wezmę przykład z kolejnego zadania, w którym mam znaleźć rozwiązanie szczególne.

\(\displaystyle{ a_{n}=2a_{n-1}+3, a_{0}=1}\)

Wyrazy ciągu: \(\displaystyle{ 1, 5, 13, 29, 61, ...}\)

Na zajęciach odgadywaliśmy podany ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) i wyszedł on takiej postaci:

\(\displaystyle{ a_{n}=2^{n+2}-3}\)

Następnie podstawialiśmy do naszego równania:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=2a_{n}+3}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=2(2^{n+2}-3)+3=2^{n+3}-3}\)

I na tym zakończyliśmy stawiając znak końca dowodu. Czym konkretnie jest tutaj rozwiązanie szczególne?

Pozdrawiam.

[yorgin]

Na takie równania jest gotowy wzór, który można wykazać indukcyjnie:

\(\displaystyle{ a_0=a, a_n=ba_{n-1}+c\\
\\
a_n=ab^n+c\cdot\frac{b^n-1}{b-1}}\)

i to są wszystkie rozwiązania.

Wracając do tematu - zgadnięcie rozwiązania wymienionej przez Ciebie postaci nazwałbym rozwiązaniem szczególnym. Dzięki postaci równania wiadomo jednak, że jest to również rozwiązanie rekurencji.

Przy bardziej złożonych równaniach, typu \(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+2^{n-1}+1}\) rozwiązanie szczególne już nie daje się zgadnąć z marszu, można natomiast przewidzieć jego postać i w ten sposób je wyznaczyć.