Równania rekrencyjne

[bartek_ac]

Mam do rozwiązania 4 równania rekurencyjne. Bardzo proszę o sprawdzenie i wskazanie miejsc, gdzie robię błędy.
\(\displaystyle{ 1. a_{n}+6a_{n-1}+9a_{n-2}=3, a_{0}=0, a_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ 2. a_{n}=4a_{n-1}-4a_{n-2}+ 2^{n} , a_{0}=a_{1}=2}\)
\(\displaystyle{ 3. a_{n}+5a_{n-1}+6a_{n-2}=3n^{2} , a_{0}=1, a_{1}=4}\)
\(\displaystyle{ 4. a_{n}=a_{n-1}+7n , a_{0}=0}\)

A więc:
1.Z równania jednorodnego \(\displaystyle{ a_{n}+6a_{n-1}+9a_{n-2}=0}\) otrzymuję równanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ x^{2}+6x+9=0 \rightarrow x=-3}\).
Rozwiązanie ogólne: \(\displaystyle{ a^{(1)}_{n}=(C+Dn)(-3)^{n}}\)
Przewidywane rozwiązanie \(\displaystyle{ a^{(2)}_{n}= -\frac{3}{16}}\)
\(\displaystyle{ C= \frac{3}{16}, D=- \frac{7}{12}}\)
czyli \(\displaystyle{ a_{n}=(\frac{3}{16}+\frac{7}{12}n)(-3)^{n}-\frac{3}{16},}\)




2.Równanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ x^{2}-4x+4=0 \rightarrow x=-2}\).
Rozwiązanie ogólne: \(\displaystyle{ a^{(1)}_{n}=(C+Dn)(-2)^{n}}\)
Przewidywane rozwiązanie \(\displaystyle{ a^{(2)}_{n}= An^22^n}\)
Obliczam \(\displaystyle{ A, C, D}\)
\(\displaystyle{ A= \frac{1}{2}, C=2, D=- \frac{5}{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ a_{n}=(2- \frac{5}{2}n)(-2)^{n}+n^22^{(n-1)}}\)


3.Równanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ x^2+5x+6=0 \rightarrow x_1=-3, x_2=-2}\)
Rozwiązanie ogólne: \(\displaystyle{ a^{(1)}_{n}=D(-3)^n+E(-2)^n}\)
Przewidywanie rozwiązanie:\(\displaystyle{ a^{(2)}_{n}= An^2+Bn+C}\)
Po obliczenia \(\displaystyle{ A= \frac{1}{4}, B= \frac{17}{24}, C= \frac{115}{288}, D=- \frac{991}{288}, E=\frac{553}{144}}\)
czyli \(\displaystyle{ a_{n}=- \frac{991}{288}(-3)^n+\frac{553}{144}(-2)^n+\frac{1}{4}n^2+\frac{17}{24}n+\frac{115}{288}}\)



4.Równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ x-1=0 \rightarrow x=1}\)
Równanie ogólne \(\displaystyle{ a^{(1)}_{n}=C1^n=C}\)
Teraz \(\displaystyle{ a^{(2)}_{n}= An+B}\)
\(\displaystyle{ An+B=1(A(n-1)+B)+7n}\)
\(\displaystyle{ An+B=An-A+B+7n}\)
\(\displaystyle{ A=A+7}\)... no właśnie. CO robię tutaj źle?
Z góry dziękuję za pomoc.

[Qń]

W ostatnim przykładzie część niejednorodna jest postaci \(\displaystyle{ n\cdot 1^n}\), a jedynka jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, więc przewidywane rozwiązanie szczególne jest postaci \(\displaystyle{ n\cdot (An+B)}\).

Q.