Liczby opisane wzorem Lucasa. Znajdz wzór na Ln.

[hudypatyk]

Witam, mam problem z rozwiązaniem zadania, oto jego treść:

Liczby Lucasa opisane są równaniem rekurencyjnym \(\displaystyle{ L_{n+2} = L_{n+1} + L_{n}, L_{0} = 2, L_{1} = 1.}\) Znajdź wzór na \(\displaystyle{ L_{n}.}\)

oraz zadanie:
Wyznacz rozwiązania szczególne następującego równania rekurencyjnego:
\(\displaystyle{ a_{0} = 1, a_{n} = 2a_{n-1} + 3}\)

Proszę kogoś o rozwiązanie z wytłumaczeniem kroków.

[yorgin]

To jest banalna rekurencja liniowa drugiego rzędu z równaniem charakterystycznym

\(\displaystyle{ x^2=x+1}\)

Czego oczekujesz?

[hudypatyk]

Wiem, że to są trywialne zadania, ale proszę o cierpliwość : ) Mogę się dowiedzieć skąd wziąłeś \(\displaystyle{ x^{2} = x + 1}\) ?

[yorgin]

Zajrzyj do tematu:

https://www.matematyka.pl/328028.htm#p5063875

[hudypatyk]

Ok. Wiem już większość, tylko problem teraz
Określiłem pierwiastki
\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{1- \sqrt{5} }{2}, x_{2} = \frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\)

Baza to \(\displaystyle{ L_{n} = A (\frac{1- \sqrt{5} }{2})^{n} + B (\frac{1+ \sqrt{5} }{2})^{n}}\)

I teraz nie wiem jakie powinno wyjść A i B z tego :
\(\displaystyle{ 2 = L_{0} = A + B}\)
\(\displaystyle{ 1 = L_{1} = A \frac{1- \sqrt{5} }{2} + B \frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\)
Gdy podstawiam pod A = 2 - B to wychodzą bzdury.

[yorgin]

I teraz nie wiem jakie powinno wyjść A i B z tego :
\(\displaystyle{ 2 = L_{0} = A + B}\)
\(\displaystyle{ 1 = L_{1} = A \frac{1- \sqrt{5} }{2} + B \frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\)
Gdy podstawiam pod A = 2 - B to wychodzą bzdury.

Źle robisz, gdyż u Ciebie warunki początkowe mają indeksy \(\displaystyle{ n=1}\) oraz \(\displaystyle{ n=2}\) a podstawiasz \(\displaystyle{ 0}\) i [/latex]1\(\displaystyle{ . Z tego nie wyjdzie dobry wynik.

Ponadto: baza to nie postać rozwiązania, to pierwiastki równania charakterystycznego.}\)

[hudypatyk]

Skąd się biorą indeksy warunków początkowych ?
Czyli baza też jest źle ? Nic już nie rozumiem

[yorgin]

Pierwiastki były dobrze policzone. Ogólna postać jest dobrze.

Układ równań jest źle.

\(\displaystyle{ 1 = L_{1} = A \frac{1- \sqrt{5} }{2} + B \frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 2 = L_{0} = A + B}\)

Masz przecież

\(\displaystyle{ L_0=1\\
L_1=2}\)

a nie na odwrót.

Ja natomiast namieszałem przy indeksach - wydawało mi się, że wcześniej widziałem \(\displaystyle{ L_1=1, L_2=2}\). Albo to było w innym zadaniu, stąd moja pomyłka.

Przeczytaj uważnie temat, który Ci zalinkowałem. Tam jest wszystko wytłumaczone. Poza tym jest tam też odnośnik do pliku, w którym krok po kroku jest wiele rozwiązanych przykładów. Z tego pliku po części się uczyłem.