Identyczne kulki w różnych workach

[myszka9]

Na ile sposobów można \(\displaystyle{ 10}\) identycznych kulek umieścić w \(\displaystyle{ 5}\) różnych workach?

Każdy sposób rozmieszczenia kulek będzie tworzył \(\displaystyle{ 10}\) el multizbiór ze zbioru 5\(\displaystyle{ }\) el .
\(\displaystyle{ k=10}\), \(\displaystyle{ n=5}\)

ODP : \(\displaystyle{ {10+5-1 \choose 10}}\)

Przy czym mam napisany wniosek : Jest \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\) sposobów rozmieszczenia \(\displaystyle{ n}\) identycznych przedmiotów w \(\displaystyle{ k}\) rozróżnialnych pudełkach -> czyli wynika z tąd , że \(\displaystyle{ k=5}\), a \(\displaystyle{ n=10}\), czyli całkiem inny wynik...
Skąd te rozbieżności?

-- 9 kwi 2013, o 22:32 --

Wydaje mi się, że jest błąd w tym wniosku, bo wczesniej mam twierdzenie, że liczba funkcji \(\displaystyle{ f :\{1,..,k\} \rightarrow \{1,...,n\}}\) jest równa \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\) , czyli powinno być \(\displaystyle{ k}\) identycznych przedmiotów, które przechodzą za pomocą funkcji do \(\displaystyle{ n}\) pudełek, wtedy byłoby ok.

[rafalpw]

Mnie się wydaje, że odpowiedzią powinno być \(\displaystyle{ {10+5-1 \choose 5-1}}\) , bo liczba tych kombinacji jest równa liczbie rozwiązań takiego równania: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=10}\) , gdzie \(\displaystyle{ x_i}\) oznacza liczbę kulek i \(\displaystyle{ i}\)-tym worku.

[myszka9]

przy czym niektóre worki mogą być puste, dlaczego na dole -1?

[rafalpw]

Dlatego, że liczba rozwiązań takiego równania: \(\displaystyle{ x_1+...+x_k=n}\) wynosi \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\)

Tak miałem na wykładzie jakiś czas temu i chyba nawet miałem udowodnione. Mam nadzieję, że wykładowca się nie pomylił.

[myszka9]

Pierwszy raz widzę taki zapis, póki co próbuję rozszyfrować moją panią doktor z tego, że cały czas się myli jeśli chodzi o \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\), o czym nas informuje...-- 9 kwi 2013, o 22:46 -- ... klad_2.pdf

Twierdzenie 3.6
(kombinacje z powtórzeniami).Liczba mozliwych k-elementowych kombinacji z powtórzeniami elementów zbioru n-elemenetowego wynosi \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\)

czyli miałam rację.

\(\displaystyle{ k}\) to liczba identycznych przedmiotów, a \(\displaystyle{ n}\) pudełek.

[pyzol]

257724.htm#p972871

[myszka9]

pyzol, czyli mój wzór jest nieprawidłowy?

[pyzol]

Ja tam nie przepadam, za zapamiętywaniem tego wzoru i faktycznie go nie pamiętam. Zawsze robię taką rozpiskę jak w linku i w tedy się nie mieszam.
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+k-1}{n}}\)

[myszka9]

\(\displaystyle{ n}\)-identyczne przedmioty
\(\displaystyle{ k}\)-rozróżnialne pudełka ?

[pyzol]

Tak.