Witam.
Mam problem z rozwiązywaniem zdań, w których podaną mam funkcję tworzącą, a musimy znaleźć postać ogólną pewnego ciągu. Chodzi mi konkretnie o takie funkcje: \(\displaystyle{ (x+2)^{n}}\) lub \(\displaystyle{ x e^{x}}\)
Nie mam zielonego pojęcia jak się do tego zabrać. Czy chodzi tu może o tw. o całkowaniu i różniczkowaniu szeregu potęgowego (które jak dotąd jedynie obiło mi się o uszy)? Proszę o pomoc.
Znaleźć wzór ogólny mając funkcję tworzącą
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Znaleźć wzór ogólny mając funkcję tworzącą
Tak jest i wykorzystywanie wzorów na konkretne sumy Taylora.
-
placky
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 30 paź 2012, o 00:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Znaleźć wzór ogólny mając funkcję tworzącą
A mógłbym Cię prosić o podanie przykładowego rozwiązania np. dla \(\displaystyle{ x e^{x}}\)? Znalazłem w internecie różne podejścia do twierdzenia i jakoś nie mogę złożyć tego w całość.
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Znaleźć wzór ogólny mając funkcję tworzącą
\(\displaystyle{ xe^{x}}\)
Rozwijam w zerze w szereg Taylora
\(\displaystyle{ f(x)=xe^{x}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=e^{x}+xe^{x}}\)
\(\displaystyle{ f''(x)=2e^{x}+xe^{x}}\)
\(\displaystyle{ f(x)^{(n)}=ne^{n}+xe^{x}}\)
Po podstawieniu zera i podzieleniu przez \(\displaystyle{ n!}\)
mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{(n-1)!}x}\) Ciąg
ma postać przed współczynnikami co stoi?
Rozwijam w zerze w szereg Taylora
\(\displaystyle{ f(x)=xe^{x}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=e^{x}+xe^{x}}\)
\(\displaystyle{ f''(x)=2e^{x}+xe^{x}}\)
\(\displaystyle{ f(x)^{(n)}=ne^{n}+xe^{x}}\)
Po podstawieniu zera i podzieleniu przez \(\displaystyle{ n!}\)
mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{(n-1)!}x}\) Ciąg
ma postać przed współczynnikami co stoi?