dana liczba podań dłoni a liczba osób

[rain228]

1. Na przyjęciu spotkała się pewna liczba znajomych. Wszyscy znajomi przywitali się podaniem ręki. Nastąpiło 10 powitań. Ilu przyjaciół się spotkało?

\(\displaystyle{ \binom{n}{2}=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}}\)

Skąd się wzięło: to równanie (czemu 2?) i przekształcenie na prawą stronę?


2. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \binom{10}{k}=252}\)

skąd się wzięło \(\displaystyle{ \binom{10}{k}=\binom{10}{10-k}}\) ?

[piasek101]

To tak zwany symbol Newtona (poczytać o nim).

Wzięcie dwóch osób z obecnych (n) skutkuje jednym przywitaniem; a tych par jest właśnie tyle.

[rain228]

Wiem, że to symbol Newtona. Ja bym to zapisał tak:
\(\displaystyle{ \binom{n}{2}=\frac{n!}{2(n-2)!}}\)
I nie wiem jak dalej zostało to przekształcone

[piasek101]

\(\displaystyle{ n!=(n-2)!(n-1)n}\)

[rain228]

a nr 2 można prosić?

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ {10 \choose k}}\) zapisałbyś jako \(\displaystyle{ \frac{10!}{k!\left( 10-k\right)! }}\), zgadza się ?
Teraz rozpiszmy \(\displaystyle{ {10 \choose 10-k}}\):
\(\displaystyle{ {10 \choose 10-k} = \frac{10!}{\black \left( \blue 10-k \black \right) ! \cdot \red \left( \black 10-(\blue 10-k \black ) \red \right) \black ! }}\)

Uprośćmy to co w czerwonym nawiasie:
\(\displaystyle{ 10-(10-k)=10-10+k=k}\)
zatem zachodzi równość \(\displaystyle{ {10 \choose k}= {10 \choose 10-k}}\)