Witam, proszę o pomoc przy skróceniu wyrażenia:
\(\displaystyle{ C_{n}= \frac{1}{2} \cdot { \frac{1}{2} \choose n + 1} \cdot \left( -1\right) ^{n} \cdot 4 ^{n+1} =\\= \frac{1}{2} \cdot \frac{ \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - 1 \right) \cdot \left( \frac{1}{2} - 2\right) \cdot ... \cdot \left( \frac{1}{2} - (n + 1 - 1)\right) }{\left( n + 1\right)! } \cdot 4 ^{n+1} = 2 ^{n} \cdot \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot .... \cdot \left( 2n - 1\right) }{n! }}\)
W tym miejscu utknąłem. Wiem, że powinienem dojść do postaci:
\(\displaystyle{ C_{n}= \frac{1}{n + 1} \cdot {2n \choose n}}\)
Problem ze skróceniem wyrażenia
-
kaniab
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 23 lut 2013, o 09:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 8 razy
Problem ze skróceniem wyrażenia
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2013, o 21:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Łam za długie linie.
Powód: Łam za długie linie.
-
kaniab
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 23 lut 2013, o 09:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 8 razy
Problem ze skróceniem wyrażenia
Chodzi tu o jakieś powiązanie \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) z liczbą parzystych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ n + 1}\) elementowego?
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Problem ze skróceniem wyrażenia
Mamy:
\(\displaystyle{ (2n)! = \left( 1\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1)\right) \cdot \left( 2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2n)\right) = \left( 1\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1)\right) \cdot 2^n \cdot n!}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ 2 ^{n} \cdot \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \left( 2n - 1\right) }{n! }= \\ =
\frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \left( 2n - 1\right) \cdot 2 ^{n} \cdot n!}{n!\cdot n!}=\\ =\frac{1}{n+1} \cdot \frac{ (2n)!}{n! \cdot n!} = \frac{1}{n+1}\cdot \binom{2n}{n}}\)
Q.
\(\displaystyle{ (2n)! = \left( 1\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1)\right) \cdot \left( 2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2n)\right) = \left( 1\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1)\right) \cdot 2^n \cdot n!}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ 2 ^{n} \cdot \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \left( 2n - 1\right) }{n! }= \\ =
\frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \left( 2n - 1\right) \cdot 2 ^{n} \cdot n!}{n!\cdot n!}=\\ =\frac{1}{n+1} \cdot \frac{ (2n)!}{n! \cdot n!} = \frac{1}{n+1}\cdot \binom{2n}{n}}\)
Q.