pole szachownicy i liczby

[viki90]

W każde pole szachownicy \(\displaystyle{ n\times n}\) wpisujemy jedną z liczb: \(\displaystyle{ -1,0,1}\). Następnie dodajemy do siebie liczby stojące w tym samym wierszu, w tej samej kolumnie i na tej samej przekątnej. Pokazać, że wśród otrzymanych sum co najmniej dwie są równe.

[tometomek91]

Najwieksza suma to \(\displaystyle{ n}\) (gdy dodamy same jedynki) a najmniejsza to \(\displaystyle{ -n}\) (gdy dodamy same minus jedynki), a więc różnych sum jest co najwyżej \(\displaystyle{ 2n+1}\), a wszystkich \(\displaystyle{ 2n+2}\) (n wierszy, n kolumn i dwie przekątne), czyli co najmniej jedna musi sie powtórzyć.