wykazanie wyniku

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
banach90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 26 mar 2013, o 16:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy

wykazanie wyniku

Post autor: banach90 »

Rozpatrując wyrażenie \(\displaystyle{ (1-x)^{2n}}\) wyznaczyć:
\(\displaystyle{ {n\choose 0}^{2}-{n\choose 1}^{2}+{n\choose 2}^{2}-{n\choose 3}^{2}+(-1)^{n}{n\choose n}^{2}}\)
Awatar użytkownika
Errichto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1629
Rejestracja: 17 mar 2011, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suwałki
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 272 razy

wykazanie wyniku

Post autor: Errichto »

To wyrażenie niewiele ma wspólnego z podaną przez Ciebie sumą.. może podaj całe zadanie.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

wykazanie wyniku

Post autor: »

Errichto pisze:To wyrażenie niewiele ma wspólnego z podaną przez Ciebie sumą..
Prawie ma, tylko powinno być \(\displaystyle{ (1-x^2)^n}\).

Wystarczy na dwa sposoby sprawdzić co stoi przy \(\displaystyle{ x^n}\) w rzeczonym wyrażeniu. Z jednej strony mamy:

\(\displaystyle{ (1-x^2)^n = (1-x)^n\cdot (1+x)^n =\\ \\ =\left( \sum_{k=0}^n \binom nk (-1)^kx^k\right) \cdot \left( \sum_{l=0}^n \binom nl x^{n-l}\right)= \\ \\ =
\sum_{k,l=0}^{n}\binom nk \binom nl (-1)^k x^{n+k-l}}\)


i widać, że przy \(\displaystyle{ x^n}\) stoi dokładnie to wyrażenie którego wartości szukamy.

Z drugiej zaś strony wystarczy przyjrzeć się wyjściowemu wyrażeniu \(\displaystyle{ (1-x^2)^n}\) bez rozbijania na iloczyn i zastanowić się co będzie stało w tym wyrażeniu przy \(\displaystyle{ x^n}\) (będzie to zależeć od parzystości \(\displaystyle{ n}\)).

Q.
ODPOWIEDZ