Rozpatrując wyrażenie \(\displaystyle{ (1-x)^{2n}}\) wyznaczyć:
\(\displaystyle{ {n\choose 0}^{2}-{n\choose 1}^{2}+{n\choose 2}^{2}-{n\choose 3}^{2}+(-1)^{n}{n\choose n}^{2}}\)
wykazanie wyniku
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
wykazanie wyniku
Prawie ma, tylko powinno być \(\displaystyle{ (1-x^2)^n}\).Errichto pisze:To wyrażenie niewiele ma wspólnego z podaną przez Ciebie sumą..
Wystarczy na dwa sposoby sprawdzić co stoi przy \(\displaystyle{ x^n}\) w rzeczonym wyrażeniu. Z jednej strony mamy:
\(\displaystyle{ (1-x^2)^n = (1-x)^n\cdot (1+x)^n =\\ \\ =\left( \sum_{k=0}^n \binom nk (-1)^kx^k\right) \cdot \left( \sum_{l=0}^n \binom nl x^{n-l}\right)= \\ \\ =
\sum_{k,l=0}^{n}\binom nk \binom nl (-1)^k x^{n+k-l}}\)
i widać, że przy \(\displaystyle{ x^n}\) stoi dokładnie to wyrażenie którego wartości szukamy.
Z drugiej zaś strony wystarczy przyjrzeć się wyjściowemu wyrażeniu \(\displaystyle{ (1-x^2)^n}\) bez rozbijania na iloczyn i zastanowić się co będzie stało w tym wyrażeniu przy \(\displaystyle{ x^n}\) (będzie to zależeć od parzystości \(\displaystyle{ n}\)).
Q.