udowodnić tożsamość

banach90 · Post autor: **banach90** » 5 kwie 2013, o 15:17

Udowodnić tożsamość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} 2^{k} {n\choose k}=3^{n}}\)
oraz podać jej interpretację kombinatoryczną.

ares41 · Post autor: **ares41** » 5 kwie 2013, o 15:27

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} 2^{k} {n\choose k}=\sum_{k=0}^{n} 2^{k} \cdot 1^{n-k} {n\choose k}}\)

banach90 · Post autor: **banach90** » 5 kwie 2013, o 15:30

Jak wykazać, że to równe jest \(\displaystyle{ 3^{n}}\)??

ares41 · Post autor: **ares41** » 5 kwie 2013, o 15:37

Porównaj to ze wzorem Newtona.

banach90 · Post autor: **banach90** » 5 kwie 2013, o 15:43

\(\displaystyle{ {n\choose k}= \frac{n!}{(n-k)!k!}}\)
nie wiem dalej dlaczego to się równa \(\displaystyle{ 3^{n}}\)

Qń · Post autor: Qń » 5 kwie 2013, o 15:48

banach90 · Post autor: **banach90** » 5 kwie 2013, o 15:52

\(\displaystyle{ =(1+2)^{n}=3^{n}}\)
czy dobrze??

-- 5 kwi 2013, o 15:54 --

a jak podać jej interpretację kombinatoryczną?