rozstawienie liter

banach90 · Post autor: **banach90** » 5 kwie 2013, o 15:12

Z 10 liter można utworzyć 2520 wyrazów. Ile liter jest jednakowych?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 15:37

W którym miejscu natrafiłaś na problemy? Jeśli nie wiesz od czego zacząć, to warto zapisać wzór na liczbę permutacji z powtórzeniami.

banach90 · Post autor: **banach90** » 5 kwie 2013, o 15:38

Nie wiem jak to rozwiązać:
\(\displaystyle{ \frac{10!}{k_1 ! k_2 ! \ldots k_n !}=2520}\) ??

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 15:55

Zacznij od pozbycia się ułamka. Z jednej strony będzie liczba, którą można na przykład rozłożyć na czynniki pierwsze. Jeśli dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\) - w tym iloczynie wyrażeń z silnią musi być co najmniej \(\displaystyle{ 5!}\). Nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\) czyli na pewno nie będzie tam liczby \(\displaystyle{ 7!}\) ani większej. I tak trochę zgadując musisz dotrzeć do wyniku. Do tego dodatkowa informacja \(\displaystyle{ k_1+k_2+...=10}\)
Tylko nie zapisuj żadnych wzorów i podstawień, tu trzeba zgadywać i tyle.

banach90 · Post autor: **banach90** » 5 kwie 2013, o 15:57

A czy nie da się tego zadania prościej rozwiązać?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 16:01

Niemal na pewno nie. I ten sposób nie jest jakiś bardzo trudny. To zgadywanie to pesymistycznie kilka minut co najwyżej (bez żadnych trudnych wyliczeń do tego).

banach90 · Post autor: **banach90** » 5 kwie 2013, o 16:03

Nie rozumiem tego zgadywania... czy mógłbyś mi jescze raz to wyjaśnić dochodząc do właściwego wyniku? Byłabym Ci niezmiernie wdzięczna...

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 16:11

\(\displaystyle{ k_1! \cdot k_2! \cdot ... = \frac{10!}{2520} \\ k_1! \cdot k_2! \cdot ... = 1440 \\ (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k_1) \cdot (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k_2) \cdot ... = 1440}\)
Gdyby po lewej było gdzieś \(\displaystyle{ 7!}\) albo \(\displaystyle{ 8!}\) czy coś jeszcze większego, to ten iloczyn by się dzielił przez \(\displaystyle{ 7}\), prawda? A nie może się przez siódemkę dzielić, no bo \(\displaystyle{ 1440}\) nie jest podzielne. Czyli \(\displaystyle{ k_1,k_2,k_3,...<7}\)
Kolejne spostrzeżenie - skoro \(\displaystyle{ 5|1440}\) to po lewej w tym iloczynie musi gdzieś być piątka czyli musi być \(\displaystyle{ 5!}\) lub \(\displaystyle{ 6!}\) (te silnie mają po rozpisaniu piątkę).
I teraz się zaczyna zgadywanie. Powiedzmy że \(\displaystyle{ 5!}\) gdzieś tam będzie (jeśli nic sensownego nie wyjdzie to trzeba będzie rozpatrzeć \(\displaystyle{ 6!}\)).
\(\displaystyle{ 5! \cdot k_2! \cdot k_3! \cdot ...=1440 \\ k_2! \cdot k_3! \cdot ...=12}\)
I teraz można już sobie zauważyć, że \(\displaystyle{ 12=2 \cdot 6=2! \cdot 3!}\)
Czyli mamy liczby \(\displaystyle{ 2,3,5}\) i nawet dają sumę \(\displaystyle{ 10}\) czyli wszystko się zgadza.

banach90 · Post autor: **banach90** » 5 kwie 2013, o 16:16

A skąd się wzięło 1440?
Czyli 12 liter jest jednakowych?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 16:18

czemu 12?

\(\displaystyle{ \frac{10!}{k_1 ! k_2 ! \ldots k_n !}=2520 \\ \\ k_1 ! k_2 ! \ldots k_n ! = \frac{10!}{2520} = \frac{3628800}{2520} =1440}\)

banach90 · Post autor: **banach90** » 5 kwie 2013, o 16:20

Czyli 1440 liter jest jednakowych?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 16:22

Skąd wzięłaś te 12? Trochę to nie ma sensu przy 10 literach z zadania..

Pokazałem Ci całe rozwiązanie i wyszło że są grupki takich samych liter po 2,3 i 5. Czyli np. aabbbccccc

EDIT: 1440? Tyle ma być liter jednakowych wśród dziesięciu? To trochę niemożliwe przecież. Rozwiązałem za Ciebie zadanie i tam masz nawet wynik...

banach90 · Post autor: **banach90** » 5 kwie 2013, o 16:26

To ile liter jest jednakowych? Powtarzają się po 2 3 i 5??

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 16:35

Tak.

Errichto pisze:Pokazałem Ci całe rozwiązanie i wyszło że są grupki takich samych liter po 2,3 i 5. Czyli np. aabbbccccc