Zamknięta formuła dla rozkładu liczby naturalnej

[Piotr Rutkowski]

Witam,

Czy istnieje w miarę przyjemna obliczeniowo formuła dla \(\displaystyle{ U(n,k)}\), gdzie \(\displaystyle{ U(n,k)}\) to ilość możliwych ciągów \(\displaystyle{ \{a_{i}\}_{i=1}^{k}\in \mathbb{N}}\) takich, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}a_{i}=n}\)? Jeśli nie, to czy poza rekurencyjnymi wzorami da się je odpowiednio opisać/szacować choćby dla małych \(\displaystyle{ k.n}\)? Ogólnie chodzi mi o to, czy można pomijać liczenie "na palcach".

[Qń]

Czy istnieje w miarę przyjemna obliczeniowo formuła dla \(\displaystyle{ U(n,k)}\), gdzie \(\displaystyle{ U(n,k)}\) to ilość możliwych ciągów \(\displaystyle{ \{a_{i}\}_{i=1}^{k}\in \mathbb{N}}\) takich, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}a_{i}=n}\)?

Oczywiście, jest to:
\(\displaystyle{ U(n,k)=\binom{n+k-1}{k-1}}\)
jeśli założymy, że zero jest naturalne i:
\(\displaystyle{ U(n,k)=\binom{n-1}{k-1}}\)
w przeciwnym wypadku.

Q.

[Piotr Rutkowski]

Chyba jestem trochę zamroczony, choć kombinatoryka nigdy nie była moją mocną stroną, myślałem, że jeśli jest tak prosta forma, to ją znajdę, mógłbyś pokrótce wyjaśnić interpretację kombinatoryczną?

[Qń]

Przejrzyj:
... dwumianowe

(fragment o ilości rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sum x_i = n}\))

Q.

[Piotr Rutkowski]

Dziękuję za link (notabene do mojego skryptu ), chyba powinienem uważniej czytać stronę wykładowcy.