zadania z kongruencją

[leszczu450]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n-1} j \equiv 0 (\mod n)}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą.

Pomożecie mi się za to zabrać : )

Z góry dziękuję za pomoc : )

[yorgin]

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n-1} j=\frac{(n-1)n}{2}}\)

Co, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, a co, gdy jest nieparzyste?

[leszczu450]

yorgin, rozpisałem tę sumę tak jak Ty po czym napisałem tak:

\(\displaystyle{ n \equiv 0 (\mod n) \\ n^2 \equiv 0 (\mod n) \\ n^2 -n \equiv 0 (\mod n)}\)

I teraz dzięki temu, że \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste , zatem jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ 2}\) , co pozwala mi podzielic kongruencje przez \(\displaystyle{ 2}\) stronami(co zazwyczaj nie ejst dozowlone). Czy takie rozumowanie jest ok?

\(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2} \equiv 0 (\mod n)}\)
Co kończy dowód. \(\displaystyle{ \square}\)

[yorgin]

OK ale pokazałeś tylko, że jeśli jest nieparzysta, to zachodzi kongruencja.

Pokazanie odwrotnej implikacji można przeprowadzić nie wprost, na przykład.

[leszczu450]

yorgin, czyli rozwiązanie jest złe tak? : )

[yorgin]

Dobrze jest Ale zrobiłeś tylko jedną implikację. W zadaniu jest \(\displaystyle{ \iff}\)

[leszczu450]

Aaaa, no racja : ) OK ! Dzięki wielkie ! Twoja pomoc jest nieoceniona! (albo i oceniona bo daje ci 'pomógł')