ustawienie liter

[banach90]

Z 10 liter można utworzyć 60 wyrazów. Ile liter jest jednakowych?

[Kartezjusz]

tylko jeden typ litery się powtarza,czy więcej?

[banach90]

Tego nie wiem. Czy ktoś wie jak rozwiązać te zadanie?

[Kartezjusz]

Zauważmy,że jednakowe litery oznaczają,że \(\displaystyle{ 10!}\)(ilość wyrazów przy wszystkich literach różnych) musi zostać podzielona przez \(\displaystyle{ k_{i}! \wedge i=1,2,3...,n}\)co oznacza,że mamy \(\displaystyle{ n}\) różnych liter i \(\displaystyle{ i}\)-ta litera pojawia się \(\displaystyle{ k_{i}}\) razy.
\(\displaystyle{ 60=2^{2} \cdot 3 \cdot 5}\) czyli musi zniknąć jedyna siódemka w rozkładzie \(\displaystyle{ 10!}\) na liczby pierwsze czyli jakaś litera pojawia się siedmiokrotnie \(\displaystyle{ zostaje 8 \cdot 9 \cdot 10=2 \cdot 2^{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2}\)co oznacza,że musimy jeszcze podzielić przez \(\displaystyle{ 2! \cdot 3!=12}\)czyli 7 liter jednego rodzaju, 2 innego i jedna dodatkowa

[banach90]

\(\displaystyle{ 60=2^{2} \cdot 3 \cdot 5}\) czyli musi zniknąć jedyna siódemka w rozkładzie \(\displaystyle{ 10!}\) na liczby pierwsze czyli jakaś litera pojawia się siedmiokrotnie \(\displaystyle{ zostaje 8 \cdot 9 \cdot 10=2 \cdot 2^{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2}\)co oznacza,że musimy jeszcze podzielić przez \(\displaystyle{ 2! \cdot 3!=12}\)czyli 7 liter jednego rodzaju, 2 innego i jedna dodatkowa

skąd wiadomo, że musi zniknąć jedna siódemka w rozkładzie? I dlaczego trzeba podzielić przez \(\displaystyle{ 2!3!}\)?

[fon_nojman]

To zadanie można opisać używając permutacji z powtórzeniami czyli wszystkich możliwości będzie

\(\displaystyle{ \frac{10!}{k_1 ! k_2 ! \ldots k_n !}}\)

gdzie \(\displaystyle{ k_i}\) to liczba powtórzeń \(\displaystyle{ i}\) tej litery a \(\displaystyle{ n}\) to liczba różnych liter.

Czyli trzeba rozwiązać równanie

\(\displaystyle{ \frac{10!}{k_1 ! k_2 ! \ldots k_n !}=60.}\)

[banach90]

Jak rozwiązać te równanie?

[fon_nojman]

To równanie nie ma rozwiązania. Ponieważ w \(\displaystyle{ 10!}\) występuje \(\displaystyle{ 7}\) które jest liczbą pierwszą to któryś z \(\displaystyle{ k_i !}\) musi zawierać \(\displaystyle{ 7.}\) Możemy założyć, że np jest to \(\displaystyle{ k_1 !.}\) Czyli mamy takie możliwości:

1) \(\displaystyle{ k_1 !=10!}\) co daje sprzeczność w rozwiązywanym równaniu.

2) \(\displaystyle{ k_1 !=9!}\) też sprzeczność.

3) \(\displaystyle{ k_1 !=8!}\) sprzeczność.

4) \(\displaystyle{ k_1 !=7!}\) sprzeczność.

Innych przypadków nie może być. Nie rozpisywałem poszczególnych przypadków bo łatwo widać jak je zrobić

PS: Czy w treści zadania na pewno powinno być \(\displaystyle{ 60}\) wyrazów nie np \(\displaystyle{ 90}\) albo \(\displaystyle{ 360}\)? I jeszcze czy dobrze rozumiem, że te wyrazy mają być \(\displaystyle{ 10}\)-cio literowe.

[banach90]

Czy to zadnie nie ma rozwiązania?