Liczba trójkątów i liczba rozwiązań

[placky]

Witam. Mam problem z dwoma zadaniami:

1. Ile jest trójkątów na tym rysunku

2. Znajdź liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + ... + x_{8} = 20}\)

Dlaczego w tym drugim nie jest to po prostu \(\displaystyle{ {27\choose7}}\) ?

[mat_61]

2) Jeżeli rozwiązaniem mają być liczby całkowite nieujemne, to właśnie tyle jest rozwiązań.

[Bugmenot]

• Można by spróbować narysować to jako graf i zobaczyć czy da się coś obliczyć z macierzy przyległości.
  
  \(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5,thick,every node/.style={scale=.6,minimum width=21pt,draw,circle,fill=black!15}]
  \node (v1) at (10,7) {1};
  \node (v2) at (9,6) {2};
  \node (v3) at (11,6) {3};
  \node (v4) at (10,5) {4};
  \node (v5) at (7,4) {5};
  \node (v6) at (13,4) {6};
  \node (v7) at (8,3) {7};
  \node (v8) at (12,3) {8};
  \node (v9) at (10,1) {9};
  \node (v10) at (4,1) {10};
  \node (v11) at (16,1) {11};
  \node (v12) at (5,0) {12};
  \node (v13) at (15,0) {13};
  \node (v14) at (7,-1) {14};
  \node (v15) at (13,-1) {15};
  \node (v16) at (10,-2) {16};
  \node (v17) at (0,-3) {17};
  \node (v18) at (20,-3) {18};
  \draw (v17) -- (v10) -- (v5) -- (v2) -- (v1) -- (v3) -- (v6) -- (v11) -- (v18) -- (v17);
  \draw (v17) -- (v12) -- (v7) -- (v4) -- (v3);
  \draw (v17) -- (v14) -- (v9) -- (v8) -- (v6);
  \draw (v17) -- (v16) -- (v15) -- (v13) -- (v11);
  \draw (v18) -- (v16) -- (v14) -- (v12) -- (v10);
  \draw (v18) -- (v15) -- (v9) -- (v7) -- (v5);
  \draw (v18) -- (v13) -- (v8) -- (v4) -- (v2);
  \end{tikzpicture}}\)

[placky]

1) A można by to ugryźć inaczej niż grafami?
2) Liczby naturalne dodatnie.

[Qń]

W pierwszym:
\(\displaystyle{ \binom 42 \binom 41 +\binom 41\binom 42 + \binom 41 \binom 41}\)

Nazwijmy cztery odcinki wychodzące z lewego dolnego wierzchołka największego trójkąta lewymi, a cztery z prawego: prawymi (w obu przypadkach nie wliczamy podstawy dolnej dużego trójkąta). Trójkąty można podzielić na trzy kategorie:

• - wyznaczone przez dwa lewe odcinki i jeden prawy
  - wyznaczone przez dwa prawe odcinki i jeden lewy
  - wyznaczone przez podstawę, jeden odcinek lewy i jeden odcinek prawy

Pozostaje tylko kwestia wyboru stosownych odcinków w każdym przypadku - stąd odpowiedź.

Q.

[placky]

O to mi właśnie chodziło Dziękuję.

[placky]

Chciałbym się upewnić, co do 2. zadania. Czy ze względu na to że rozważamy liczby naturalne dodatnie, będzie to \(\displaystyle{ {19 \choose 7}?}\)

[mat_61]

Jeżeli rozwiązanie ma być w liczbach całkowitych dodatnich, to tak.

[placky]

A całkowite są nadzbiorem naturalnych Ok, wszystko się zgadza, dzięki.