Czy mógłbym otrzymać jakąś wskazówkę do zadania:
Pokaż, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N}\) wyrażenie \(\displaystyle{ (1+\sqrt{2})^n +(1-\sqrt{2})^n}\) jest liczbą całkowitą parzystą.
Rozpisałem to ze wzoru Newtona
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1^{k}\sqrt{2} ^ {n-k} + \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1^{k}(-\sqrt{2}) ^ {n-k}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \sqrt{2} ^ {n-k} + \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-\sqrt{2}) ^ {n-k}}\)
i dalej nie mam pomysłu.
Wyrażenie jest liczbą całkowitą parzystą...
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wyrażenie jest liczbą całkowitą parzystą...
Wygodniej będzie w postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \sqrt{2} ^ {k} + \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-\sqrt{2})^{k}}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \sqrt{2} ^ {k} + \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-\sqrt{2})^{k}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\left( \sqrt{2} ^ {k} + (-\sqrt{2})^{k}\right) = \\ =\sum_{k \ parzyste}} {n \choose k}\left( \sqrt{2} ^ {k} + (-\sqrt{2})^{k}\right)+\sum_{k \ nieparzyste} {n \choose k}\left( \sqrt{2} ^ {k} + (-\sqrt{2})^{k}\right)}\)
Wystarczy teraz zauważyć, że dla \(\displaystyle{ k}\) nieparzystego wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{2} ^ {k} + (-\sqrt{2})^{k}}\) jest równe zero, a dla \(\displaystyle{ k}\) parzystego jest podzielne przez dwa.
Alternatywnym podejściem do zadania jest zauważenie, że \(\displaystyle{ (1+\sqrt{2})^n +(1-\sqrt{2})^n}\) jest rozwiązaniem rekurencji:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_0 = 2\\ a_1 = 2 \\ a_n= 2a_{n-1} +a_{n-2}\end{cases}}\)
Q.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \sqrt{2} ^ {k} + \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-\sqrt{2})^{k}}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \sqrt{2} ^ {k} + \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-\sqrt{2})^{k}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\left( \sqrt{2} ^ {k} + (-\sqrt{2})^{k}\right) = \\ =\sum_{k \ parzyste}} {n \choose k}\left( \sqrt{2} ^ {k} + (-\sqrt{2})^{k}\right)+\sum_{k \ nieparzyste} {n \choose k}\left( \sqrt{2} ^ {k} + (-\sqrt{2})^{k}\right)}\)
Wystarczy teraz zauważyć, że dla \(\displaystyle{ k}\) nieparzystego wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{2} ^ {k} + (-\sqrt{2})^{k}}\) jest równe zero, a dla \(\displaystyle{ k}\) parzystego jest podzielne przez dwa.
Alternatywnym podejściem do zadania jest zauważenie, że \(\displaystyle{ (1+\sqrt{2})^n +(1-\sqrt{2})^n}\) jest rozwiązaniem rekurencji:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_0 = 2\\ a_1 = 2 \\ a_n= 2a_{n-1} +a_{n-2}\end{cases}}\)
Q.