1. \(\displaystyle{ {n \choose k} = { n \choose n-k}}\)
\(\displaystyle{ f: P_k (x) \rightarrow P_{n-k} (x)}\)
\(\displaystyle{ A \in P_k (x) , f(A) = X\A}\)
Funkcja jest 1-1, na <-dlaczego NA?
Z zasady bijekcji zbiory są równoliczne.
Brakuje mi założenia, że k dzieli n na dwie równe części, wtedy ten dowód byłby dla mnie zrozumiały..
2. \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \cdot {n \choose k} = 0}\)
\(\displaystyle{ f: P(X) \rightarrow P(X)}\)
\(\displaystyle{ f(A) = X\A}\)
Jeśli \(\displaystyle{ n=|X|}\) jest l. nieparzystą, to funkcja f w sposób jednoznaczny przyporządkowuje każdemu zbiorowi o parzystej liczbie elemntów zbiór o nieparzystej liczbie elementów.
\(\displaystyle{ 1 {n \choose k} = {n \choose n-k}}\)
\(\displaystyle{ (-1)^k = -1 \cdot (-1)^{n-k}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ n=|X|}\) jest l. parzystą
Ust. \(\displaystyle{ x\in X , X\{x}}\)
Wówczas istnieje tyle samo pozbiorów zbioru X o liczebności parzystej i nieparzystej, zawierających el X oraz istnieje tyle samo pozbiorów zbioru X o liczebności parzystej i nieparzystej, niezawierających el X.
To są dowody mojej pani dr., w 1) nie rozumiem dlaczego funkcja jest na, drugiego praktycznie w ogóle.
Mógłby ktoś mi je wytłumaczyć?