Rekurencja liniowa niejednorodna - gdzie jest błąd?!

[Edward D]

Równanie rekurencyjne:

\(\displaystyle{ a_n = \frac{-13}{20}a_{n-1} + \frac{19}{20}}\)
\(\displaystyle{ a_1 = \frac{1}{2}}\)

Rozwiązuję równanie pomocnicze \(\displaystyle{ \frac{-13}{20}a_{n-1} + \frac{19}{20} - x = \frac{-13}{20}(a_{n-1} - x)}\), wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{19}{33}}\).

\(\displaystyle{ a_n - \frac{19}{33} = \frac{-13}{20} (a_{n-1} - \frac{19}{33})}\)
\(\displaystyle{ b_n = a_n - \frac{19}{33}}\)
\(\displaystyle{ b_n = \frac{-13}{20} b_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ b_n = \left( \frac{-13}{20}\right) ^{n-1} b_1}\)
\(\displaystyle{ b_1 = a_1 - \frac{19}{33} = \frac{-5}{66}}\)
\(\displaystyle{ b_n = \frac{5}{66} \left( \frac{-13}{20}\right) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ a_n = \frac{19}{33} + \frac{5}{66} \left( \frac{-13}{20}\right) ^{n}}\)

Ale teraz jak podstawiam n=1 to powinno mi wyjsć \(\displaystyle{ a_1 = \frac{1}{2}}\), a wychodzi \(\displaystyle{ \frac{139}{264}}\).

Siedzę nad tym pół godziny i nie widzę błędu. Pomocy!

PS. Wolfram podaje rozwiazanie \(\displaystyle{ 0.575756+0.11655 \left( -0.65\right) ^n}\). Nie wiem co to jest to \(\displaystyle{ 0.11655}\), ale na pewno nie moje \(\displaystyle{ \frac{5}{66}}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ b_n = \left( \frac{-13}{20}\right) ^{n-1} b_1}\)
\(\displaystyle{ b_1 = a_1 - \frac{19}{33} = \frac{-5}{66}}\)
\(\displaystyle{ b_n = \frac{5}{66} \left( \frac{-13}{20}\right) ^{n}}\)

Przed chwilą w wykładniku było \(\displaystyle{ n-1}\), a teraz nagle pojawiło się \(\displaystyle{ n}\). Zapomniałeś też o minusie, więc powinno być ostatecznie:
\(\displaystyle{ a_n = \frac{19}{33} - \frac{5}{66} \left( \frac{-13}{20}\right) ^{n-1}}\).

Q.

[Edward D]

No oczywiscie, "wlaczylem" minus do potegi zapomniajac ze to nie jest \(\displaystyle{ (-1)^n}\) ! Dzieki.