Kombinatoryka - weryfikacja.

rNest · Post autor: **rNest** » 12 mar 2013, o 23:00

Proszę o sprawdzenie poniższych zadań.
1). Na ile sposobów można rozdać 12 pączków 5 policjantom tak, aby każdy z nich otrzymał co najmniej 1 pączka?

\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\) , zatem:
\(\displaystyle{ {12+6-1 \choose 6-1}= {17 \choose 5}= \frac{17!}{5!(17-5)!}= \frac{742560}{120}=6188}\) sposobów.

2). Na ile sposobów można wybrać 5 osobową komisję, składającą się z przewodniczącego, zastępcy, sekretarza oraz 2 członków spośród grupy 12 osób?

\(\displaystyle{ V_{n} ^{k}= \frac{n!}{(n-k)!}}\)
\(\displaystyle{ V _{5} ^{12}= \frac{12!}{(12-5)!}=95040}\) sposobów.

Czy to jest prawidłowy tok myślenia? Bardzo proszę o weryfikację.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 12 mar 2013, o 23:55

Nie bardzo:

1. Jeżeli to mają być k-elementowe kombinacje z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego, to \(\displaystyle{ k=12}\) oraz \(\displaystyle{ n=5}\), czyli:

\(\displaystyle{ {12+5-1 \choose 12}}\) lub

\(\displaystyle{ {12+5-1 \choose 5-1}}\)

Zakładając, że to literówka, to i tak rozwiązanie nie jest poprawne, bo uwzględnia wszystkie możliwe podziały pączków bez uwzględnienia warunku, że każdy z policjantów otrzyma co najmniej jednego pączka.

Poprawna odpowiedź, to:

\(\displaystyle{ {11 \choose 4}}\)

Połóżmy te pączki w rządku na stole:

\(\displaystyle{ o o o o o o o o o o o o}\)

Teraz bierzemy cztery przegródki i umieszczamy w wybranych - spośród jedenastu - miejscach między pączkami, np. tak:

\(\displaystyle{ o o o |o o| o o o o |o o| o}\)

Te przegródki dzielą pączki na pięć części w ilości odpowiedniej dla kolejnych policjantów. W tym przypadku \(\displaystyle{ 3-2-4-2-1}\)

2. Wskazówka

Ten sposób liczenia rozróżnia wszystkie osoby w komisji a nie jest to zgodne z treścią zadania ponieważ rozróżnieni są przewodniczący, zastępca i sekretarz, ale nierozróżnieni są dwaj członkowie.

rNest · Post autor: **rNest** » 13 mar 2013, o 09:29

Literówka - nie 6, tylko 5.
Czyli 5 pączków wypada z rozdawania na samym początku?
A więc:
\(\displaystyle{ {12-5-1-5 \choose 5-1}?}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 mar 2013, o 11:03

Można też tak zrobić jak piszesz tzn. dajemy każdemu jednego pączka i pozostałe siedem dzielimy dowolnie (kombinacje z powtórzeniami), czyli wszystkich możliwości jest:

\(\displaystyle{ {(12-5)+5-1 \choose 5-1}}\)

(przy piątce ma być plus a nie minus)

rNest · Post autor: **rNest** » 13 mar 2013, o 18:55

Odnośnie 2.
Czy to będzie tak:

\(\displaystyle{ {12 \choose 5}+ {5 \choose 2}?}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 mar 2013, o 20:58

A skąd taki pomysł?
Czy możesz opisać swój tok myślenia odzwierciedlający powyższy zapis, bo wygląda mi to trochę na zgadywanie?

rNest · Post autor: **rNest** » 13 mar 2013, o 23:05

Tzn. wybór 5 z 12 i 2 członków z 5-osobowej komisji.

pyzol · Post autor: **pyzol** » 13 mar 2013, o 23:16

Przewodniczącego wybierasz na \(\displaystyle{ 12}\) sposobów.
Zastępcę na \(\displaystyle{ 11}\) sposobów.
Sekretarza na \(\displaystyle{ 10}\) sposobów.
Ostat6nich dwóch wybieramy na \(\displaystyle{ \binom{9}{2}}\) sposobów.
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ 12\cdot 11\cdot 10 \cdot \binom{9}{2}}\)

rNest · Post autor: **rNest** » 14 mar 2013, o 17:07

Dzięki Pyzol. Jak za rączkę się poprowadzi człowieka, to dopiero otwierają się bramy zrozumienia ...